$ (1)$证明：∵$AB=AC，$$D$为$BC$中点
∴$AD$平分$∠BAC，$$AD⊥BC$
即$∠BAD=∠CAD，$$∠ADB=∠ADC=90°$
∵$EF $是$AB$的垂直平分线
∴$OA=OB，$∴$∠OAB=∠OBA$
∵$∠OAB=∠BAD，$$∠BAD=∠CAD$
∴$∠OAC=∠OCA$
∴$OA=OC，$∴$∆AOC$是等腰三角形
$(2)$解：∵$∠BAD=20°，$$AD$平分$∠BAC$
∴$∠BAC=2∠BAD=40°，$$∠CAD=∠BAD=20°$
∵$AB=AC$
∴$∠ABC=∠ACB=\frac {(180°-∠BAC)}2=\frac {(180°-40°)}2=70°$
∵$EF $是$AB$的垂直平分线
∴$∠AEF=90°，$$∠OAE=∠BAD=20°$
∴$∠AOE=90°-∠OAE=90°-20°=70°$
∴$∠AOF=180°-∠AOE=180°-70°=110°$
∵$OA=OC，$$∠CAD=20°$
∴$∠OCA=∠CAD=20°$
∴$∠AOC=180°-∠CAD-∠OCA=180°-20°-20°=140°$
∴$∠COF=∠AOC-∠AOF=140°-110°=30°$
