$ (1)$证明：∵$BD$平分$∠ABC，$∴$∠ABD=∠CBD$
∵$DE//BC，$∴$∠EDB=∠CBD$
∴$∠ABD=∠EDB，$∴$BE=DE$
$(2)$解：在$∆ABC$中，$∠A=80°，$$∠C=40°$
∴$∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-80°-40°=60°$
∵$BD$平分$∠ABC$
∴$∠ABD=∠CBD=\frac {1}{2}∠ABC=30°$
由$(1)$知$∠EDB=∠CBD=30°，$即$∠BDE=30°$
