解：$(1)$∵$l_{1} $是$ AB $的垂直平分线，∴$AD = BD $
∵$l_{2} $是$ AC $的垂直平分线，∴$AE = CE $
∴$ \triangle ADE $的周长为$ AD + DE + AE = 8\ \mathrm {cm}$
∴$BC = BD + DE + EC = AD + DE + AE = 8\ \mathrm {cm} $
$(2)$∵$O $在$ AB $的垂直平分线上，∴$OA = OB $
∵$ O $在$ AC $的垂直平分线上，∴$OA = OC$
∴$ OB = OC$
∴点$ O $在$ BC $的垂直平分线上
