解：∵$BD $垂直平分$ AE，$∴$AD = DE，$$BA = BE $
∵$ \triangle DEC $的周长为$ DE + EC + CD = 6\ \mathrm {cm}$
∴$ AD + CD + EC = AC + EC = 6\ \mathrm {cm} $
$ \triangle ABC $的周长为$ AB + BC + AC = 18\ \mathrm {cm}$
$ BC = BE + EC = AB + EC$
∴$AB + (AB + EC) + AC = 2\ \mathrm {A}B + (AC + EC) = 18\ \mathrm {cm}$
∴$ 2\ \mathrm {A}B + 6 = 18，$解得$ AB = 6\ \mathrm {cm} $
