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$ (1)$证明：∵$∠AEB=∠ABC，$$∠BAE=∠CAB$

∴$∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB，$$∠C=180°-∠CAB-∠ABC$

∴$∠ABE=∠C$

$(2)$解：∵$AF $平分$∠BAE，$∴$∠BAF=∠DAF$

∵$F D//BC，$∴$∠ADF=∠C$

又∵$∠ABE=∠C，$∴$∠ADF=∠ABE$

在$△ABF $和$△ADF_{中}$

$\begin {cases}{∠ABF=∠ADF}\\{∠BAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end {cases}$

∴$△ABF≌△ADF(\mathrm {AAS})$

∴$AD=AB=8$

∴$DC=AC-AD=10-8=2$

$ (1)$证明： ∵$∠ACB=90°，$$AD⊥MN，$$BE⊥MN$

∴$∠ADC=∠CEB=90°，$$∠ACD+∠BCE=90°，$$∠ACD+∠CAD=90°$

∴$∠CAD=∠BCE$

在$∆ADC$和$∆CEB$中

$ \begin {cases}{∠ADC=∠CEB}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end {cases}$

∴$∆ADC≌∆CEB(\mathrm {AAS})$

∴$AD=CE，$$DC=BE$

∴$DE=DC+CE=AD+BE$

$(2)DE=AD-BE$

证明：同理可证$∆ADC≌∆CEB$

∴$AD=CE，$$DC=BE$

∴$DE=CE-DC=AD-BE$

$(3)DE=BE-AD$