$ (1)$证明：∵$AB//CD，$∴$∠ABD=∠EDC$
在$∆ABD$和$∆EDC$中
$ \begin {cases}{∠1=∠2}\\{DB=DC}\\{∠ABD=∠EDC}\end {cases}$
∴$∆ABD≌∆EDC(\mathrm {ASA})$
$(2)$解：∵$∆ABD≌∆EDC，$∴$∠A=∠DEC=135°$
在$∆DEC$中，$∠2=180° - ∠DEC - ∠EDC=15°$
∴$∠ADC=∠BDC + ∠1=30° + 15°=45°$
