$ (1)$证明：∵$AB⊥AC，$$AD⊥AE，$
∴$∠BAC=∠DAE=90°$
∴$∠BAC - ∠EAB=∠DAE - ∠EAB，$即$∠CAE=∠BAD$
在$∆ABD$和$∆ACE$中
$ \begin {cases}{∠ABD=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\end {cases}$
∴$∆ABD≌∆ACE(AS A)$
∴$BD=CE$
$(2)$解：$BD⊥CE，$理由：设$BD$与$CE$交于点$F$
由$(1)$知$∆ABD≌∆ACE，$∴$∠ADB=∠AEC$
∵$∠AEC+∠AEF=180°，$∴$∠ADB+∠AEF=180°$
∵$∠DAE=90°$
∴$∠DEF=360°-(∠ADB+∠AEF)-∠DAE=90°$
∴$BD⊥CE$
