$ (1)$证明：∵$∆ABC≌∆AEF$
∴$∠BAC=∠EAF($全等三角形对应角相等$)$
∵$∠BAC=∠BAF+∠F AC，$$∠EAF=∠BAF+∠EAB$
∴$∠BAF+∠F AC=∠BAF+∠EAB$
∴$∠EAB=∠F AC$
$ (2)∆ABC$可以以点$A$为旋转中心，顺时针旋转$25°$得到$∆AEF$
$ (3)$解：∵$∆ABC≌∆AEF$
∴$∠C=∠F=57°($全等三角形对应角相等$)$
由$(1)$知$∠F AC=∠EAB=25°$
在$∆AMC$中，$∠AMB$是外角
∴$∠AMB=∠F AC+∠C=25°+57°=82°$
