$ (1)$解：在$∆ABC$中，$∠BAC = 180° - 40° - 84° = 56°$
∵$∠BAE = ∠CAE，$∴$∠BAE = ∠CAE = 28°$
$∠AEB = 180° - 40° - 28° = 112°，$$∠AEC = 180° - 28° - 84° = 68°$
锐角三角形：$∆ABC，$$∆AEC；$
直角三角形：$∆ABD，$$∆ADC，$$∆ADE；$
钝角三角形：$∆ABE$
$(2)$证明：∵$BC = BE + EC，$∴$AC + BC = AC + BE + EC$
在$∆AEC$中，$AC + EC ＞ AE$
∴$AC + BE + EC ＞ AE + BE$
即$AC + BC ＞ AE + BE$
