第67页 - 启东中学作业本八年级数学人教版

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$解:(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD$

$∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP,即∠BPD=∠BAC=60°$

$(3)∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°, ∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=12$

$∴BE=BP+PE=12+2=14$

$∵△ABE≌△CAD,∴AD=BE=14$

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$证明:∵△ABC是等边三角形\ $

$∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA$

$在△ABE和△CAD中$

$\begin{cases}{ AB=CA }\ \\ { ∠BAE=∠C } \\{ AE=CD} \end{cases}$

$∴△ABE≌△CAD(SAS) $

$解:①∵△ABC,△BEF都是等边三角形\ $

$∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF\ $

$∴∠ABE=∠CBF$

$在△ABE和△CBF中$

${{\begin{cases} {{AB=CB}} \\ {∠ABE=∠CBF} \\ {BE=BF} \end{cases}}}$

$∴△ABE≌△CBF(SAS), ∴∠BAE=∠BCF\ $

$∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC$

$∴∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$

$∴∠BAE=∠BCF=150°,∴∠DCM=180°-150°=30°\ $

$∵∠CDM=90°，∴∠AMC=90°-30°=60°$

$②△BPQ的面积是定值，定值为20$

$过点B作BH⊥CM于点H$

$在Rt△CBH中,CB=8,∠BCH=30°$

$∴BH=\frac{1}{2}BC=4$

$∴△BPQ的面积=\frac{1}{2}PQ×BH$

$=\frac{1}{2}×10×4=20 $