$证明:连接AD$ $∵AB=AC,D是BC的中点，∴∠EAD=∠FAD$ $在△AED和△AFD中$ $\begin{cases}{ AE=AF }\ \\ { ∠EAD=∠FAD } \\{ AD=AD} \end{cases}$ $∴△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF$ $证明:连接AD$ $∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD$ $又∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴DF=DE$ $证明:连接ED,DF$ $∵AB=AC,∴∠B=∠C$ $在△BED和△CDF中$ $\begin{cases}{ BE=CD }\ \\ { ∠B=∠C } \\{ BD=CF} \end{cases}$ $∴△BED≌△CDF(SAS),∴DE=DF$ $∵G是EF的中点,∴DG⊥EF$
$证明:连接DC$ $∵∠A=∠B,∴BC=AC$ $又∠BCA=90°,∴△ABC是等腰直角三角形\ $ $∵D为AB的中点$ $∴BD=CD,CD平分∠BCA,CD⊥AB$ $∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°,∴∠A=∠FCD$ $在△ADE和△CDF中$ $\ \begin{cases}{ AE=CF }\ \\ { ∠A=∠FCD } \\{ AD=CD} \end{cases}$ $∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF $
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