第151页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

5

75°

证明:∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD

∵E是AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，∴OE//FG.

∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形

∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，

∴平行四边形OEFG是矩形.

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$解:如图①，连接BF. $

$∵点A与点F关于直线BE对称， $

$∴BA=BF=BC，∠FBE=∠ABE=α， $

$∴∠FBC=90°-2α. $

$∴在等腰△BFC中，$

$ \begin{aligned}∠BCF&=∠BFC \\ &=\frac{1}{2}(180°-∠FBC) \\ &=45°+α. \\ \end{aligned}$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解:∵四边形ABCD是菱形， $

$∴BD⊥AC，AB=AD=10，$

$∴∠AOD=90°. $

$∵E是AD的中点，$

$∴OE=AE=\frac{1}{2}AD=5. $

$由(1)知，四边形OEFG是矩形，$

$∴FG=OE=5. $

$∵AE=5，EF=4，EF⊥AB，$

$∴AF=3，$

$ \begin{aligned}∴BG&=AB-AF-FG \\ &=10-3-5 \\ &=2. \\ \end{aligned}$

$证明:延长AO到E，如图所示.\ $

$∵OA=OB，$

$∴∠ABO=∠BAO.\ $

$∵∠BOE=∠ABO+∠BAO，$

$∴∠BOE=2∠BAO，$

$同理∠DOE=2∠DAO，\ $

$∴∠ BOE+∠DOE$

$=2∠BAO+2∠DAO$

$=2(∠BAO+∠DAO)，$

$即∠BOD=2∠BAD\ $

$∵∠C=2∠BAD，$

$∴∠BOD=∠C.$

$解:连接OC，如图所示.\ $

$∵BC=CD，OA=OB=OD，OC是公共边，\ $

$∴△OBC≌△ODC(SSS)，\ $

$∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO.\ $

$∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，$

$∠BCD=∠BCO+∠DCO，$

$∴∠BOC=\frac{1}{2}∠BOD，∠BCO=\frac{1}{2}∠BCD$

$又∠BOD=∠BCD，\ $

$∴∠BOC=∠BCO，$

$∴BO=BC.\ $

$∵OB=OD，BC=CD，\ $

$∴OB=BC=CD=DO，\ $

$∴四边形OBCD是菱形.$

$解:DG//CF.理由如下: $

$如图②，过点D作DH⊥DG交AF于点H，设AG交CD于点M. $

$∵点A与点F关于直线BE对称，$

$∴BE⊥AF $

$∵AB//CD，$

$∴∠BAG=∠AMD=∠CMG=90°-α， $

$∴∠MCG=α $

$又∵∠DAH+∠BAG=90°，$

$∴∠DAH=∠MCG=α. $

$∵∠ADM=∠HDG=90°，$

$∴∠ADH=∠CDG. $

$在△ADH和△CDG中，$

$\begin{cases}{∠ADH=∠CDG,}\\{AD=CD,}\\{∠DAH=∠DCG,}\end{cases} $

$∴△ADH≌△CDG(ASA)，$

$∴DH=DG，∴∠DGH=45°. $

$由(1)可知，∠BCF=45°+α，$

$ \begin{aligned} ∠FCM&=90°-(45°+α) \\ &=45°-α， \\ ∴∠FCG&=∠FCM+∠MCG \\ &=45°-α+α \\ &=45°. \\ \end{aligned}$

$∴在Rt△FCG中，∠GFC=45°， $

$∴∠DGH=∠GFC，∴DG//CF.$