解:①四边形BECD是菱形.理由如下:
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.
∵CE=AD，∴BD=CE.
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵DE⊥BC，
∴平行四边形BECD是菱形.
②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.理由如下:
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC.
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°
由(2)知，四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.
