$解:由题意,将点B代入双曲线y=\frac{m}{x},$
$∴2=\frac{m}{-1},$
$∴m=-2,\ $
$∴双曲线表达式为y=-\frac{2}{x}\ $
$又∵A(2,a)在双曲线上,$
$∴a=-1,∴A(2,-1).\ $
$将A、B代入一次函数表达式$
$得\begin{cases}{2k+b=-1,}\\{-k+b=2,}\end{cases}$
$∴\begin{cases}{k=-1,}\\{b=1,}\end{cases}\ $
$∴直线y=kx+b的表达式为y=-x+1.$