$解:(1)设直线AE的表达式为y=kx+b，根据题意，$
$得\begin{cases}{3k+b=5,}\\{-2k+b=0,}\end{cases}解得\begin{cases}{k=1,}\\{b=2,}\end{cases}$
$∴直线AE的表达式为y=x+2.$
$∵点A(3,5)关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为(-3,-5).$
$∵CD//y轴，∴设点D的坐标为(-3,a)，∴a=-3+2=-1，$
$∴点D的坐标为(-3,-1).$
$∵反比例函数y=\frac{k}{x}(0＜k＜15)的图像经过点D，$
$∴k=-3×(-1)=3.$
$(2)S_{阴影}=12$
