第70页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

$证明:(1)∵四边形ABCD和CEFG都是$

$正方形，∴AB=AD=DC=BC，$

$GC=EC=FG=EF$

$∵DH=CE=BK，$

$∴HG=EK=BC=AD=AB.$

$在△ADH和△ABK中，\begin{cases}{AD=AB,}\\{∠ADH=∠ABK,}\\{DH=BK,}\end{cases}$

$∴△ADH≌△ABK(SAS)，∴AK=AH$

$(2)∵△ADH≌△ABK，$

$∴∠HAD=∠BAK. ∴∠HAK=90°. $

$同理可得$

$△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， $

$∴HF=FK=AK=AH， $

$∴四边形AKFH是正方形.$

$(3)连接AE，$

$∵四边形AKFH的面积为10，$

$∴KF=\sqrt{10}.∵EF=CE=1，$

$∴KE=\sqrt{KF²-EF²}=\sqrt{10-1}=3，$

$∴AB=KE=3. $

$∵BK=EF=1，∴BE=BK+KE=4， $

$ \begin{aligned} ∴AE&=\sqrt{AB²+BE²} \\ &=\sqrt{3²+4²} \\ &=5. \\ \end{aligned}$

$故点A、E之间的距离为5.$

A

解：如图②，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，

把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR

交于点G，∴MR=HR，DQ=HQ=2

由(1)易得四边形PMGD是正方形，

MR+DQ=QR，

∴MG=DG=MP=PH=6，∴GQ=4.

设MR=HR=a，则GR=6-a，QR=a+2，

在Rt△GQR中，

由勾股定理得(6-a)²+4²=(2+a)²，解得

a=3，即HR=3.

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$证明:①作AG⊥EF于点G，如图①，\ $

$则∠AGE=∠AGF=90°.\ $

$∵AB⊥CE，AD⊥CF，\ $

$∴∠B=∠D=90°=∠C，$

$∴四边形ABCD是矩形.\ $

$∵∠CEF、∠CFE的外角平分线相交于点A，\ $

$∴AB=AG，AD=AG，$

$∴AB=AD，\ $

$∴四边形ABCD是正方形.$

$②在Rt△ABE和Rt△AGE中，$

$\begin{cases}{AB=AG,}\\{AE=AE,}\end{cases}$

$∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，$

$∴BE=EG，同理可得$

$Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)，\ $

$∴DF=GF，$

$∴BE+DF=GE+GF=EF.$