第69页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

解:这两条路等长.理由如下:

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°.

∵DE=CF，∴AD-DE=CD-CF，

即AE=DF，

∴△BAE≌△ADF(SAS)，

∴AF=BE，故这两条路等长.

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$证明:∵四边形ABCD是正方形，$

$∴AC⊥BD，OD=OC，$

$∠ODC=∠OCD=∠OCB=45°， $

$ ∴∠DOC=90°，∠ODF=∠OCE=135°$

$ ∵∠MON=90°，∴∠DOF=∠COE.$

$ 在△ODF和△OCE中，\begin{cases}{∠DOF=∠COE,}\\{OD=OC,}\\{∠ODF=∠OCE}\end{cases}$

$ ∴△ODF≌△OCE(ASA)，∴OE=OF.$

$解:AE⊥BF.$

$理由如下:\ $

$∵四边形ABCD$

$是正方形，\ $

$∴AB=BC=$

$CD=DA，$

$∠ABC=∠C=90°.\ $

$在Rt△ABE和Rt△BCF中，\begin{cases}{AB=BF,}\\{AB=BC,}\end{cases}$

$∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，$

$∴∠BAE=∠CBF\ $

$∵∠BAE+∠BEA=90°，$

$∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴AE⊥BF$

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$解:这两条路等长.理由如下:\ $

$如图，作EM⊥BC于点M，$

$交HF于点P，作HN⊥CD于点N，交EM于点Q，\ $

$∴∠EMG=∠EMC=90°，$

$∠HNF=∠HND=90°，\ $

$∴∠EMG=∠HNF.\ $

$∵四边形ABCD是正方形，\ $

$∴∠A=∠C=∠D=90°，AD=CD，\ $

$∴∠A=∠HND=∠D=90°，$

$∠EMC=∠C=∠D=90°，\ $

$∴四边形AHND、四边形EMCD都是矩形，\ $

$∴EM//DC，HN=AD，EM=CD，\ $

$∴∠HQP=∠HNF=90°，HN=EM，\ $

$∴∠NHF+∠HPQ=90°.\ $

$∵EG⊥FH，$

$∴∠MEG+∠HPQ=90°，\ $

$∴∠MEG=∠NHF.\ $

$∵HN=EM，∠EMG=∠HNF，\ $

$∴△EMG≌△HNF(ASA)，\ $

$∴EG=FH.故这两条路等长.$

$解:在Rt△ABE中，AB=8，BE=6，$

$根据勾股定理得$

$AE=\sqrt{AB²+BE²}=10 $

$ \begin{aligned}∵S_{△ABE}&=\frac{1}{2}AB·BE \\ &=\frac{1}{2}AE·BP， \\ \end{aligned}$

$∴8×6=10BP， $

$∴BP=4.8.$

$解:四边形FMNP不能成为正方形，理由如下:\ $

$由(1)知AE⊥BF，∴∠APF=90°.\ $

$∵FM⊥DN，DN⊥AE，$

$∴∠FMN=∠MNP=90°，\ $

$∴四边形FMNP是矩形\ $

$∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°，\ $

$∴∠BAP=∠ADN.\ $

$在△BAP和△ADN中，$

$\begin{cases}{∠APB=∠DNA,}\\{∠BAP=∠ADN,}\\{AB=DA,}\end{cases}$

$∴△BAP≌△ADN(AAS)，\ $

$∴AN=BP，AP=DN.\ $

$∵AE=BF，$

$∴AE-AN=BF-BP，$

$∴EN=PF.\ $

$∵点F在线段CD上运动(点F不与C、D重合)，\ $

$∴P、E不重合，$

$∴PN≠EN，∴PN≠PF，\ $

$∴四边形FMNP不能成为正方形.$