第67页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

C

③④

$解:小明的说法正确.证明如下:\ $

$ \begin{aligned}S_{四边形ABCD}&=S_{△ADC}+S_{△BAC} \\ &=\frac{1}{2}AC·OD+\frac{1}{2}AC·BO \\ &=\frac{1}{2}AC·(OD+OB) \\ &=\frac{1}{2}AC·BD， \\ \end{aligned}$

$即“对角线垂直四边形”的面积是对角线之积的一半.$

B

4

解:四边形EFGH是正方形.

证明:设AC、BD的交点

为O，∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP.

∵∠APB=∠CPD=90°，

∴ ∠PDC+∠PCD=90°，

∴ ∠ODC+∠OCD=90°，

即∠COD=90°，

∴AC⊥BD.

∵EH//BD，HG//AC，

∴∠EHG=90°.

∵四边形EFGH是菱形，

且∠EHG=90°，

∴四边形EFGH是正方形.

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证明:∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴HG//AC，EF//AC，

∴HG//EF，同理可得HE//GF，

∴四边形EFGH是平行四边形.

∵DB⊥AC，

∴HE⊥HG，∴∠EHG=90°，

∴四边形EFGH是矩形.

$解:四边形EFGH是菱形.$

$证明:如图，连接AC、BD，\ $

$∵∠APB=∠CPD，\ $

$∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，$

$即∠BPD=∠APC.\ $

$在△APC和△BPD中，\ $

$\begin{cases}{AP=BP,}\\{∠APC=∠BPD,}\\{PC=PD,}\end{cases}$

$∴△APC≌△BPD(SAS)，$

$∴AC=BD.\ $

$∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，\ $

$∴EF=GH=\frac{1}{2}AC，$

$FG=EH=\frac{1}{2}BD，\ $

$∴EF=FG=GH=EH，$

$∴四边形EFGH是菱形.$