第55页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

2.4

证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD.

∵AE=AB，∴AE=CD，且AE//CD，

∴四边形ACDE是平行四边形.

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证明:∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∵△ABC平移得到△DEF，∴AB//DE，

∴∠ABC=∠DEF，∴∠DEF=∠ACB，

∴△OEC为等腰三角形.

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$解:∵EF交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F，$

$∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF\ $

$∵EF//BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，$

$∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，$

$∴OC=OE=OF=\frac{1}{2}EF.$

$∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，$

$∴∠ECF=∠ECO+∠FCO=\frac{1}{2}×180°=90°.$

$在Rt△CEF中，由勾股定理得EF=\sqrt{CE²+CF²}=10，∴OC=\frac{1}{2}EF=5.$

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证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∠B=∠ADC.

∵∠EOD=2∠B，∴∠EOD=2∠ADC，

且∠EOD=∠ADC+∠OCD，

∴∠ADC=∠OCD，

∴OC=OD.

∵四边形ACDE是平行四边形，

∴ OA=OD，OE=OC，

∴AD=CE，

∴四边形ACDE是矩形.

证明:如图，当点E为BC中点时，四边形AECD为矩形.

理由:∵AB=AC，且E为BC中点，

∴AE⊥BC，BE=EC.

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE//AD，BE=AD，

∴AD//EC，AD=EC，

∴四边形AECD为平行四边形.

又∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴平行四边形AECD为矩形.

解:当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

理由如下:

连接AE、AF，当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形.

又∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形.