【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据点的坐标判断四边形OABC是矩形，利用矩形对边平行的性质得到∠EBO=∠AOB，再结合折叠前后对应角相等的性质，推出∠EOB=∠EBO，得到OE=BE的等量关系；第二步，设点E的坐标为(m,1)，用含m的式子表示出OE、CE的长度，在Rt△OCE中利用勾股定理列方程，求解得到m的值，即得到点E的坐标；第三步，由于OD是过原点的直线，设其解析式为y=kx，将点E的坐标代入即可求出k的值，得到OD的函数表达式。
【解析】
由O为坐标原点，A(3,0)，B(3,1)，C(0,1)，可知四边形OABC四个角为直角，是长方形。
∴OA//BC，
∴∠EBO=∠AOB（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得∠EOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE（等角对等边）。
设点E的坐标为(m,1)，则CE=m，BE=BC-CE=3-m，故OE=BE=3-m。
在Rt△OCE中，根据勾股定理：$OE^2=OC^2+CE^2$，
代入得：$(3−m)^2=1^2+m^2$，
展开得$9-6m+m^2=1+m^2$，
化简得$-6m=-8$，
解得$m=\frac{4}{3}$，
∴点E的坐标为$(\frac{4}{3},1)$。
∵OD过原点，设OD所在直线的函数表达式为$y=kx$，
将$E(\frac{4}{3},1)$代入$y=kx$中，得$1= \frac{4}{3}k$，
解得$k=\frac{3}{4}$，
∴OD所在直线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与几何折叠的综合基础题，解题的核心是通过角的等量关系推出等腰三角形，再借助勾股定理求出直线上关键点的坐标，进而求出直线解析式，能够有效考查对几何性质和一次函数求法的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题围绕一次函数的性质展开，各小问解题思路如下：
(1) 二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，已知交点D的横坐标为-2，先代入y=x-2求出D的纵坐标，即可得到方程组的解；
(2) 不等式$x-2≥4x+b$的几何意义是一次函数$y=x-2$的图象位于$y=4x+b$图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点坐标即可直接判断解集；
(3) 求不规则四边形OADC的面积可采用割补法，先求出各个相关点A、B、C的坐标，计算△BAD的面积减去△BOC的面积，即可得到四边形的面积；
(4) 直角三角形存在性问题需分类讨论：分别以C、D、E为直角顶点，结合图象和勾股定理判断是否存在符合条件的点E，求出坐标即可。
【解析】
(1) 点$D(-2,m)$在$y=x-2$上，代入得$m=-2-2=-4$，即$D(-2,-4)$，两个一次函数的交点坐标就是对应方程组的解，因此可得方程组的解。
(2) 不等式$x-2≥4x+b$即$y=x-2$的函数值大于等于$y=4x+b$的函数值，观察图象可知交点D左侧满足该条件，对应x的取值范围为$x≤-2$。
(3) 先求A点坐标：在$y=x-2$中令$x=0$得$y=-2$，即$A(0,-2)$；将D点坐标代入$y=4x+b$求出$b=4$，得到直线BC解析式为$y=4x+4$，再求出$C(-1,0)$、$B(0,4)$；最后用割补法，四边形面积等于△BAD的面积减去△BOC的面积，计算得结果为4。
(4) 分三类讨论：①E为直角顶点时，过D作x轴垂线即可得到$E_1(-2,0)$；②C为直角顶点时，过C作CD的垂线与x轴仅交于C点，无法构成三角形，不存在符合条件的点；③D为直角顶点时，设$E_2(t,0)$，结合勾股定理列方程求解得$t=-18$，即$E_2(-18,0)$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$
(2)$x≤ -2$
(3)解:在$y=x-2$中,令$x=0$,得$y=-2$,$\therefore A(0,-2)$.
由点$D(-2,-4)$在直线$y=4x+b$上，
得$-4=4×(-2)+b$,解得$b=4$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=4x+4$.
$\therefore C(-1,0),B(0,4)$，
$\therefore AB=6,OC=1,OB=4$，
$\therefore S_{四边形OADC}=S_{△ BAD}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×1×4=4$.
(4)解:存在.如答图,当E为直角顶点时,过点D作$DE_1⊥ x$轴于点$E_1$.

$\because D(-2,-4),\therefore E_1(-2,0)$.
当C为直角顶点时,x轴上不存在满足条件的点E；
当D为直角顶点时,过点D作$DE_2⊥ CD$交x轴于点$E_2$,设$E_2(t,0)$.
$\because C(-1,0),E_1(-2,0),\therefore CE_2=-1-t,E_1E_2=-2-t$.
$\because D(-2,-4),\therefore DE_1=4,CE_1=-1-(-2)=1$.
在$\mathrm{Rt}△ DE_1E_2$中，
$DE_2^2=DE_1^2+E_1E_2^2=4^2+(-2-t)^2=t^2+4t+20$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_1$中,$CD^2=1^2+4^2=17$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_2$中,$CE_2^2=DE_2^2+CD^2$，
即$(-1-t)^2=t^2+4t+20+17$,解得$t=-18$，
$\therefore E_2(-18,0)$.
综上,点E的坐标为$(-2,0)$或$(-18,0)$.
【知识点】
一次函数与方程组，一次函数与不等式，一次函数综合应用
【点评】
本题结合一次函数考查了方程、不等式的几何意义，以及不规则图形面积计算、直角三角形存在性问题，解题时要灵活运用数形结合思想，分类讨论时注意不要漏解，也不要多算不符合条件的情况。
【难度系数】
0.6