【分析】
(1) 第一次形成等腰△MCN时，点N仍在CB边上，此时△MCN为直角三角形（∠C=90°），等腰需满足两直角边CM=CN。先用含t的代数式分别表示CM、CN的长度：运动t秒后AM=t cm，故CM=(8-t)cm，CN=2t cm，列等式求解即可得到t的值。
(2) 当N在BA上、△BCN以BC为腰时，需分两种情况讨论：①BC=BN；②BC=CN。先用勾股定理求出AB的长度，第一种情况直接计算N的总路程，除以速度得时间；第二种情况用等面积法求出AB边上的高CH，再用勾股定理算出BH的长，结合等腰三角形三线合一得BN=2BH，算出N的总路程后除以速度得时间，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 运动t秒后，$AM = t\ \mathrm{cm}$，$CN = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$CM = AC - AM = (8 - t)\ \mathrm{cm}$。
第一次形成等腰三角形时N在CB边上，△MCN为直角三角形，故$CM=CN$，即：
$8 - t = 2t$
解得 $t=\frac{8}{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
① 当$BC=BN$时，点N运动的总路程为$BC+BN=6+6=12\ \mathrm{cm}$，因此运动时间$t=12÷2=6\ \mathrm{s}$；
② 当$BC=CN$时，过点C作$CH⊥ BN$于点H，由等腰三角形三线合一得$NB=2BH$。
由△ABC面积相等可得：$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$，代入数值解得$CH=4.8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，由勾股定理得$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=3.6\ \mathrm{cm}$，因此$BN=2×3.6=7.2\ \mathrm{cm}$。
点N运动的总路程为$BC+BN=6+7.2=13.2\ \mathrm{cm}$，因此运动时间$t=13.2÷2=6.6\ \mathrm{s}$。
综上，点N的运动时间为6s或6.6s。
【答案】
(1) $\frac{8}{3}$
(2) 解:如答图①,当$BC=BN$时,
点N运动的路程是$BC+BN=6+6=12$(cm),
∴点N运动的时间$t=12÷2=6$(s);
如答图②,当$BC=CN$时,
过点C作$CH⊥BN$于点$H$,
∴$NB=2BH$.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$ cm.
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$,
∴$10CH=6×8$,解得$CH=4.8$,
∴$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=3.6$ cm,
∴$BN=2×3.6=7.2$(cm),
∴点N运动的路程是$BC+BN=6+7.2=13.2$(cm),
∴点N运动的时间$t=13.2÷2=6.6$(s).
综上,点N的运动时间是6 s或6.6 s.
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，等面积法
【点评】
本题为动点与几何性质结合的综合题，解题时需结合点的运动过程分类讨论等腰三角形的腰的情况，避免漏解，同时考查了勾股定理、等面积法的灵活运用，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
