【分析】
本题是共顶点旋转型全等的典型题，解题思路如下：首先观察到两个等腰直角三角形共顶点A，优先证明△ABD和△ACE全等，再结合全等的边、角性质、等腰直角三角形的角度特征，逐一验证4个结论：1. 利用SAS证全等后，由对应边相等判断结论①；2. 由全等得对应角相等，结合等腰直角△ABC的底角为45°，推导角度关系判断结论②；3. 推导∠DBC与∠DCB的和是否为90°，判断结论③；4. 结合BD⊥CE和△ADE的底角为45°，推导∠ADB与∠ADE是否相等，判断结论④。
【解析】
逐一验证4个结论：
① 证明：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，故①正确；
②
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
代入∠ABD=∠ACE得：∠ACE+∠DBC=45°，
又
∵∠DBC＞∠ABD，
∴∠ACE+∠ABD=2∠ABD≠45°，故②错误；
③ 由②得∠ACE+∠DBC=45°，又
∵等腰Rt△ABC中∠ACB=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，即BD⊥CE，故③正确；
④
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
由③得BD⊥CE，即∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠BDE-∠ADE=90°-45°=45°，
∴∠ADB=∠ADE，即DA平分∠BDE，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题核心考查旋转型全等的应用，解题关键是先证明三角形全等，再结合等腰直角三角形的角度特征推导边、角关系，验证结论时要注意区分角的组成部分，避免想当然误判结论。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察到△AOB和△COD是共顶点的等腰直角三角形，具备OA=OB、OC=OD的等线段条件，且可通过角的和差推出∠AOC=∠BOD，因此优先考虑利用SAS证明△AOC≌△BOD；通过全等可得到AC=BD，再通过角的等量代换证明AC⊥BD，此时对角线互相垂直的四边形面积可表示为$\frac{1}{2}$×两条对角线的乘积；由于AC=BD，面积可进一步转化为$\frac{1}{2}AC^2$，只需找到AC的最大值即可求出面积最大值，根据两点之间线段最短，当A、O、C三点共线时AC长度最大，为OA与OC的长度和，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：连接AC、BD交于点E，BD交OA于点F。
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，$∠ AOB=∠ COD=90°$，
∴$OA=OB=1$，$OC=OD=2$，
$∠ COD+∠ AOD=∠ AOB+∠ AOD$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD\end{cases}$
∴$△ AOC≌△ BOD$（SAS），
∴$AC=BD$，$∠ OBF=∠ FAE$。
又
∵$∠ BFO=∠ AFE$，
∴$∠ AEF=∠ BOF=90°$，即$AC⊥ BD$。
∴四边形$ABCD$的面积：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AC· BE+\frac{1}{2}AC· DE$
$=\frac{1}{2}AC·(BE+DE)=\frac{1}{2}AC· BD$
∵$AC=BD$，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC^2$。
根据三角形三边关系，$AC≤ OA+OC$，当且仅当A、O、C三点共线时等号成立，
∴$AC$的最大值为$OA+OC=1+2=3$，
此时四边形$ABCD$的最大面积为$\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题是旋转型全等的典型考题，解题关键是利用共顶点等线段的特征构造全等三角形，推导得到对角线垂直的关系，将四边形面积转化为仅与AC长度相关的表达式，再结合线段最值原理求解，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题是旋转型全等（手拉手模型）的典型考题，解题核心是利用已知等角推导相等夹角，结合两组等边证明三角形全等，再通过全等性质转化角推导数量关系：
1. 第(1)问：先由∠BAC=∠DAE推导得∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，再结合等腰直角△ABC的内角特征，计算∠DCE的度数；
2. 第(2)①问：沿用全等证明思路得到∠B=∠ACE后，利用三角形内角和定理将∠B+∠ACB用含α的式子表示，代换后得到α与β的关系；
3. 第(2)②问：先按要求补全图形，同样先证△BAD≌△CAE，结合D在CB延长线上的位置分析角的和差，直接得到数量关系。
【解析】
(1)
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
∴∠ABD=∠ACE。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°。
(2)① α与β的数量关系为$\boldsymbol{α+β=180°}$，证明如下：
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
∴∠B=∠ACE。
∵在$△ ABC$中，∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α，
又
∵∠DCE=β，
∴β=180°-α，即α+β=180°。
② 补全图形如下：

此时α与β的数量关系为$\boldsymbol{α=β}$。
【答案】
(1) $\boxed{90}$
(2) ① $\boxed{α+β=180°}$；
② 补全图形见，数量关系为$\boxed{α=β}$。
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题核心是通过等角的公共部分推导相等夹角，构造全等三角形实现角的转化；解题时需注意动点位置变化时，角的和差关系会发生改变，要结合图形具体分析，避免思维定式。
【难度系数】
0.65