2026年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版第166页解析答案

28.(12分)定义:在平面直角坐标系中,对于任意一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象,作该图象在直线$x=m$的右侧部分关于直线$x=m$的轴对称图形,与原图象在直线$x=m$的右侧部分及与直线$x=m$的交点共同构成一个新函数的图象,则这个新函数叫作原函数关于直线$x=m$的“V型函数”.例如,图①就是一次函数$y=x+2$关于直线$x=-1$的“V型函数”图象.
(1)请在图②中画出函数$y=x+2$关于直线$x=0$的“V型函数”图象;
(2)若函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象与$x$轴只有一个交点,则$m=$

-10

;
(3)如图③,点$C(-12,0)$,以$OC$为斜边在$x$轴上方作等腰$Rt△COB$,当函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象与$△COB$的边只有两个交点时,求$m$的取值范围.

答案：
28.(1)解:函数$y=x+2$关于直线$x=0$的“V型函数”图象如答图①所示。

(2)$-10$
(3)解:$\because$ 在等腰$\mathrm{Rt}△ COB$中,$C(-12,0)$,
$\therefore OC=12,B(-6,6)$,
$\therefore$ 直线$OB$的函数表达式为$y=-x$.
解方程$x+10=-x$,得$x=-5$.
易知直线$y=x+10$与$x$轴的交点坐标为$(-10,0)$,
$\therefore$ 当$-10＜m＜-5$时,函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象与$△ COB$的边只有两个交点.
$\because$ 直线$y=x+10$与$△ COB$的边已经有两个交点，
$\therefore$ 函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象与$△ COB$的边不能再有交点,即在点$C(-12,0)$的左侧.
$\therefore C(-12,0)$与点$(-10,0)$关于$x=m$对称.
$\therefore$ 如答图②,当$m=-11$时,函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象经过点$C(-12,0)$.
$\therefore$ 当函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V型函数”图象与$△ COB$的边只有两个交点时,$m$的取值范围是$-10＜m＜-5$或$m＜-11$.

解析：

【分析】
(1) 要画出指定“V型函数”图象，首先明确x=0即y轴，先找到原函数y=x+2与对称轴x=0的交点，再取原函数x＞0部分的点作关于y轴的对称点，将交点与对称点连接，和原函数x≥0的部分组合即可。
(2) 先求原函数y=x+10与x轴的交点，要“V型函数”与x轴只有1个交点，说明该交点恰好落在对称轴x=m上，对称后无新的交点，即可求出m的值。
(3) 先根据等腰直角三角形的性质求出点B坐标和直线OB的解析式，再求出原直线与x轴、直线OB的交点，分两种情况讨论：①对称轴在原直线与x轴交点、原直线与OB交点之间，对称部分不增加交点；②对称后的部分完全在点C左侧，不与三角形相交，综合两种情况得到m的取值范围。
【解析】
(1) ①求y=x+2与x=0的交点：令x=0，得y=2，交点为(0,2)；②取原函数x＞0上的点(2,4)，其关于x=0的对称点为(-2,4)；③连接(0,2)与(-2,4)，保留原函数x≥0的部分，所得即为所求图象。
(2) 令y=x+10=0，解得x=-10，即原函数与x轴交点为(-10,0)。要“V型函数”与x轴仅1个交点，说明该交点在对称轴x=m上，故m=-10。
(3) 解：
∵等腰Rt△COB中，C(-12,0)，OC为斜边，
∴OC=12，点B坐标为(-6,6)。
设直线OB解析式为y=kx，代入B(-6,6)得k=-1，即OB解析式为y=-x。
联立$\begin{cases}y=x+10\\y=-x\end{cases}$，解得x=-5，即两直线交点为(-5,5)。
令y=x+10=0，解得x=-10，即原直线与x轴交点为(-10,0)。
①当-10＜m＜-5时，原直线与△COB已有2个交点，对称部分在x＜m区域，不会产生新交点，总交点数为2，符合要求；
②点(-10,0)关于x=m的对称点为(2m+10,0)，当2m+10＜-12即m＜-11时，对称部分在点C左侧，不与△COB相交，原直线与△COB有2个交点，符合要求。
综上可得到m的取值范围。
【答案】
(1) 函数$y=x+2$关于直线$x=0$的“V型函数”图象如答图①所示。

(2) $\boldsymbol{-10}$
(3) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-10＜m＜-5}$或$\boldsymbol{m＜-11}$，对应示意图如答图②所示。

【知识点】
一次函数图象变换，轴对称性质，一次函数交点问题
【点评】
本题是新定义题型，结合了一次函数图象、轴对称变换和几何交点问题，解题核心是准确理解“V型函数”的定义，结合数形结合和分类讨论思想分析不同情况，能有效考查对函数性质和几何变换的综合应用能力。
【难度系数】
0.3