10.规定用符号$[m]$表示一个实数$m$的整数部分，例如，$[\dfrac{2}{3}]=0$，$[3.14]=3$，按此规律，则$[\sqrt{3}+2]=$
3
答案：3
解析：
【分析】
要计算$[\sqrt{3}+2]$的值，首先需明确符号$[m]$的含义是取实数$m$的整数部分（即不大于$m$的最大整数）。解题的核心思路是先估算出$\sqrt{3}$的取值范围，再推导得到$\sqrt{3}+2$的取值范围，最后根据新定义规则确定其整数部分即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 推导$\sqrt{3}+2$的取值范围：
给不等式$1＜\sqrt{3}＜2$的三边同时加2，可得$1+2＜\sqrt{3}+2＜2+2$，即$3＜\sqrt{3}+2＜4$。
3. 根据新定义确定结果：
按照$[m]$表示实数$m$整数部分的规定，不大于$\sqrt{3}+2$的最大整数为3，因此$[\sqrt{3}+2]=3$。
【答案】
3
【知识点】
无理数的估算，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查对无理数大小的估算能力，解题关键是准确估算出无理数的取值范围，再结合给定规则求解，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
11.计算：
(1) $(-\dfrac{1}{2})^{-2} + (-3)^0 + |1 - \sqrt{2}| - 2^2$；
(2) $\sqrt{3} - \sqrt[3]{8} + |\sqrt{3} - 2|$；
(3) $-2^2 + (\dfrac{1}{3})^{-2} + (π - \sqrt{5})^0 + \sqrt[3]{-125}$；
(4) $(-1)^{2025} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{8}$。
答案：(1)$\sqrt{2}$ (2)0 (3)1 (4)$\sqrt{2}-4$
解析：
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：第一步，先拆分每道题中的各个运算单元，分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、乘方、开方的结果；第二步，将各单元的结果按照有理数加减法则合并计算即可。计算时注意：①负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，零指数幂$a^0=1(a≠0)$；②去绝对值前先判断绝对值内式子的正负，正数去绝对值不变，负数去绝对值要变号；③注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的运算结果，避免符号出错。
【解析】
(1) 分别计算各部分：
$(-\frac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$，$(-3)^0=1$，
$\because\sqrt{2}＞1$，$\therefore|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$2^2=4$，
代入原式得：
原式$=4+1+(\sqrt{2}-1)-4=\sqrt{2}$。
(2) 分别计算各部分：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\because\sqrt{3}＜2$，$\therefore|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，
代入原式得：
原式$=\sqrt{3}-2+(2-\sqrt{3})=0$。
(3) 分别计算各部分：
$-2^2=-4$，$(\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9$，$(π-\sqrt{5})^0=1$，$\sqrt[3]{-125}=-5$，
代入原式得：
原式$=-4+9+1+(-5)=1$。
(4) 分别计算各部分：
$\because2025$是奇数，$\therefore(-1)^{2025}=-1$，
$\because\sqrt{2}＞1$，$\therefore|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$\sqrt[3]{8}=2$，
代入原式得：
原式$=-1+(\sqrt{2}-1)-2=\sqrt{2}-4$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$0$；(3)$1$；(4)$\sqrt{2}-4$
【知识点】
实数混合运算，指数幂运算，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础常考题，核心考查各类运算法则的掌握程度，易错点集中在符号判断上，如负指数幂的运算、乘方的符号、去绝对值的符号，计算时先单独算好每个小单元的结果再合并，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
12. 如图,实数a,b,c是数轴上三点A,B,C所对应的数,化简:$\sqrt{a^2}+|a-b|+\sqrt[3]{(a+b)^3}-|b-c|$.
答案：解:原式$=|a|+|a-b|+a+b-|b-c|$
$=-a+a-b+a+b-c+b$
$=a+b-c.$
解析：
【分析】
首先观察数轴，根据“数轴上右侧的数总大于左侧的数”可得大小关系：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$。再回忆化简规则：①二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$；②立方根$\sqrt[3]{x^3}=x$（$x$为任意实数）；③正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。先将原式中的根式转化为含绝对值的形式，再根据数的正负判断绝对值内表达式的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，因此$a＜0$，$a-b＞0$，$b-c＜0$。
对原式逐步化简：
$\begin{aligned}原式 &= |a| + |a-b| + (a+b) - |b-c| \\&= -a + (a-b) + a + b - (c - b) \\&= -a + a - b + a + b - c + b \\&= a + b - c\end{aligned}$
【答案】
$a+b-c$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴考查实数相关的代数式化简，解题的关键是准确判断绝对值内表达式的正负，去绝对值时要注意符号的变化，熟练掌握根式、绝对值的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6
13. 请阅读下面材料.
设$a,b$是有理数,且满足$a+\sqrt{2}b=3-2\sqrt{2}$,求$b^a$的值.
解:由题意,得$(a-3)+\sqrt{2}(b+2)=0$.
$\because a,b$都是有理数,
$\therefore a-3,b+2$也是有理数.
$\because \sqrt{2}$是无理数,
$\therefore b+2=0,a-3=0$,即$a=3,b=-2$,
$\therefore b^a=(-2)^3=-8$.
根据阅读材料,解决问题:
设$x,y$都是有理数,且满足$x^2 -2y+\sqrt{5}y=10+3\sqrt{5}$,求$x+y$的值.
答案：解:$\because x^2 -2y+\sqrt{5}y=10+3\sqrt{5}$,
$\therefore (x^2 -2y-10)+(\sqrt{5}y-3\sqrt{5})=0$,
$\therefore (x^2 -2y-10)+\sqrt{5}(y-3)=0.$
$\because x,y$都是有理数,$\therefore x^2 -2y-10,y-3$也是有理数.
$\because \sqrt{5}$是无理数,$\therefore x^2 -2y-10=0,y-3=0$,
解得$y=3,x=\pm4.$
当$x=4,y=3$时,$x+y=7$;
当$x=-4,y=3$时,$x+y=-1.$
综上所述,$x+y$的值为7或$-1.$
解析：
【分析】
解题时可迁移运用材料给出的方法：第一步先对等式变形，将含无理数$\sqrt{5}$的项合并为一类，剩余的有理数部分合并为另一类；第二步根据有理数和无理数的性质判断：若有理数A加上无理数$\sqrt{5}$与有理数B的乘积等于0，则必须满足A=0且B=0；第三步据此列方程组先求出y的值，再代入求x的取值，注意x是平方项，存在正负两个解，最后分别计算$x+y$的值即可。
【解析】
解：$\because x^2 -2y+\sqrt{5}y=10+3\sqrt{5}$，
$\therefore$移项整理得$(x^2 -2y-10)+\sqrt{5}(y-3)=0$，
$\because x,y$都是有理数，
$\therefore x^2 -2y-10$和$y-3$也都是有理数，
又$\because \sqrt{5}$是无理数，
$\therefore$要使等式成立，需满足$\begin{cases}x^2 -2y-10=0 \\ y-3=0 \end{cases}$，
解得$y=3$，代入第一个方程得$x^2=16$，即$x=\pm4$。
当$x=4,y=3$时，$x+y=4+3=7$；
当$x=-4,y=3$时，$x+y=-4+3=-1$。
综上所述，$x+y$的值为7或$-1$。
【答案】
7或$-1$
【知识点】
1. 有理数与无理数的性质
2. 平方根的运算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查知识迁移应用能力，解题的关键是正确拆分等式中的有理数部分和无理数部分，利用无理数的性质列方程求解，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
