10.一个数值转换器的原理如图所示，当输入的x是256时，y=
$\sqrt{2}$
。
答案：10.$\sqrt{2}$
解析：
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后，先计算它的算术平方根，若所得结果是有理数，就将该结果作为新的输入值再次取算术平方根，直到得到的算术平方根为无理数时，输出该无理数作为y。解题时只需按照该规则对输入的x=256逐步运算即可。
【解析】
当输入x=256时：
1. 第一次取算术平方根：$\sqrt{256}=16$，16是有理数，需返回重新运算；
2. 第二次取算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，需返回重新运算；
3. 第三次取算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，需返回重新运算；
4. 第四次取算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出要求，故$y=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根计算，无理数判别，程序运算
【点评】
本题考查基础的代数运算和概念辨析，解题的核心是读懂转换器的运算逻辑，严格按照步骤逐步计算，避免中途停止运算导致错误。
【难度系数】
0.8
11.如图，A是数轴上表示数a的点.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示数$\sqrt{2}$的点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小，并说明理由.
答案：11.解:(1)如答图所示,点 P 即为所求.
(2)$a＞\sqrt{2}$.
理由:如答图,点 A 在点 P 的右侧,$\therefore a＞\sqrt{2}$.
解析：
【分析】
(1) 要作出表示$\sqrt{2}$的点，可利用勾股定理：直角边长都为1的等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$。先构造出长度为$\sqrt{2}$的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，和数轴正半轴的交点即为所求点P。
(2) 数轴上的点和实数一一对应，且右侧的点表示的数总大于左侧的点表示的数，只需观察点A和点P的左右位置，即可判断a和$\sqrt{2}$的大小。
【解析】
(1) 首先过数轴上表示1的点作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与该线段的上端点，得到长度为$\sqrt{2}$的线段；再以原点为圆心，该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{2}$的点P，作图痕迹如答图所示。
(2) 观察数轴可得，点A在点P的右侧，根据数轴上实数的大小比较规律：数轴上右侧的点对应的数大于左侧的点对应的数，因此$a＞\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如答图所示,点 P 即为所求.
(2) $a＞\sqrt{2}$，理由：如答图，点A在点P的右侧，$\therefore a＞\sqrt{2}$。
【知识点】
无理数的几何作图，数轴的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查了无理数的作图和实数大小比较的方法，需要掌握勾股定理在无理数作图中的应用，理解数轴上数的大小比较规则，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
12.阅读材料，解答问题：
如果两个数相等，那么有理数部分与有理数部分相等，无理数部分与无理数部分相等.例如，$a,b$是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b=3-5\sqrt{2}$，则$a=3,b=-5$.
问题：设$x,y$是有理数，且$x,y$满足等式$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$，求$xy$的值.
答案：12.解:$\because x,y$是有理数,且$x,y$满足等式$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$,$\therefore \begin{cases} x^2+2y=17, \\ y=-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=-4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=-5, \\ y=-4. \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时,$xy=-20$;
当$x=-5,y=-4$时,$xy=20$.
综上所述,$xy$的值为 20 或$-20$.
解析：
【分析】
首先读懂题目给出的规则：两个相等的含无理数的等式，有理数部分对应相等，无理数部分对应相等。先将等式两边的有理数部分、含√3的无理数部分分别拆分，根据对应相等关系列方程组，先求出y的值，再代入求x的取值，注意x是平方的运算结果，有正负两个解不要漏解，最后分别计算xy的值即可。
【解析】
∵x,y是有理数，且满足等式$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$
∴将等式的有理数部分和无理数部分分别对应相等，可得方程组：
$\begin{cases} x^2+2y=17 \\ y=-4 \end{cases}$
把$y=-4$代入$x^2+2y=17$，得$x^2 + 2×(-4)=17$，即$x^2=25$，解得$x=5$或$x=-5$
∴方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-5 \\ y=-4 \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时，$xy=5×(-4)=-20$
当$x=-5,y=-4$时，$xy=(-5)×(-4)=20$
【答案】
20或$-20$
【知识点】
有理数与无理数性质，平方根运算，二元方程组求解
【点评】
本题属于新定义类实数运算题，解题核心是准确理解题目给出的相等规则，正确拆分等式的有理部分和无理部分列方程组，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 我们知道$\sqrt{2}$是无理数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。又例如，$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$。请根据以上信息，解答下列问题：
(1)$\sqrt{34}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果$\sqrt{11}$的整数部分为$a$，$7-\sqrt{7}$的整数部分为$b$，求$12a+7b$的立方根。
答案：13.(1)5 $\sqrt{34}-5$
(2)解:$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$,即$3＜\sqrt{11}＜4$,
$\therefore \sqrt{11}$的整数部分为 3,$\therefore a=3$.
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$,
$\therefore 7-\sqrt{7}=4+3-\sqrt{7}$,$7-\sqrt{7}$的整数部分为$b$,$\therefore b=4$,
$\therefore 12a+7b=12× 3+7× 4=36+28=64$,
$\therefore 12a+7b$的立方根为$\sqrt[3]{64}=4$.
解析：
【分析】
解决这类问题的核心是用“夹逼法”：通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围，进而得到它的整数部分，再用“原数-整数部分”得到小数部分。第(1)问先确定√34在哪两个相邻整数之间，即可得到整数部分和小数部分；第(2)问先分别估算√11、√7的范围，依次求出a、b的值，再代入代数式计算结果，最后求该结果的立方根即可。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{34}＜6$，
∴$\sqrt{34}$的整数部分是5，小数部分为$\sqrt{34}-5$。
(2) 解：$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore \sqrt{11}$的整数部分为3，即$a=3$。
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同乘-1得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，
两边同时加7得：$4＜7-\sqrt{7}＜5$，
$\therefore 7-\sqrt{7}$的整数部分为4，即$b=4$。
将$a=3$，$b=4$代入得：$12a+7b=12×3+7×4=36+28=64$，
$\therefore 12a+7b$的立方根为$\sqrt[3]{64}=4$。
【答案】
(1) $5$；$\sqrt{34}-5$
(2) $4$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；立方根计算
【点评】
本题考查无理数估算的实际应用，解题的关键是熟练掌握夹逼法确定无理数的取值范围，再结合整数部分、小数部分的性质求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
