【分析】
这组题目考查立方根的相关运算，解题核心是熟练运用立方根的核心性质：①若$x^3=a$，则$\sqrt[3]{a}=x$；②$(\sqrt[3]{a})^3=a$；③$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。解题时先对每道题的被开方数进行化简，转化为某个有理数的立方形式，再结合性质计算即可：(1)直接寻找立方等于0.008的数；(2)利用$(\sqrt[3]{a})^3=a$的性质简化运算；(3)先计算被开方数的乘积，再判断符号后开立方；(4)先化简被开方数的分母，约分后再开立方。
【解析】
(1) 因为$0.2^3=0.2×0.2×0.2=0.008$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{0.008}=0.2$。
(2) 先计算被开方数：$1-\dfrac{19}{27}=\dfrac{8}{27}$，根据性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，可得$(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}})^3=\dfrac{8}{27}$。
(3) 先计算被开方数的乘积：$(-4)×3×18=-216$，因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$。
(4) 先化简被开方数：分母$25×40=1000$，即被开方数为$-\dfrac{64}{1000}$，因为$(-\dfrac{4}{10})^3=-\dfrac{64}{1000}$，约分可得$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{1000}}=-\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1)$0.2$；(2)$\dfrac{8}{27}$；(3)$-6$；(4)$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，开立方运算
【点评】
本题属于立方根的基础运算题型，重点考查对立方根性质的理解和运算能力，解题时要注意先化简被开方数，尤其要注意立方根的符号规律，避免因符号判断错误或计算粗心失分。
【难度系数】
0.85

【分析】
这组题目是利用立方根的定义求解含三次方的方程，解题思路统一为：①先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“含x的式子的三次方=常数”的形式；②根据立方根的定义，若$a^3=b$，则$a=\sqrt[3]{b}$，对等式两边同时开立方，消去三次方，得到一元一次方程；③解一元一次方程即可得到x的值。注意开立方运算的结果只有1个，和开平方有2个互为相反数的结果不同，无需额外考虑正负情况。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{6}x^3=36$，两边同时乘以6得：
$x^3=36×6=216$
两边同时开立方得：
$x=\sqrt[3]{216}=6$
(2) 对$(x-1)^3=-8$，两边同时开立方得：
$x-1=\sqrt[3]{-8}=-2$
移项计算得：
$x=-2+1=-1$
(3) 对$(5x-2)^3=-125$，两边同时开立方得：
$5x-2=\sqrt[3]{-125}=-5$
移项得$5x=-5+2=-3$，系数化为1得：
$x=-\frac{3}{5}$
(4) 对$1-4(x+2)^3=257$，先移项得：
$-4(x+2)^3=257-1=256$
两边同时除以-4得：
$(x+2)^3=-64$
两边同时开立方得：
$x+2=\sqrt[3]{-64}=-4$
移项计算得：
$x=-4-2=-6$
【答案】
(1)$x=6$ (2)$x=-1$ (3)$x=-\dfrac{3}{5}$ (4)$x=-6$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；一元一次方程解法
【点评】
本题属于立方根应用的基础题型，核心考查对立方根概念的理解与运用，解题的关键是先将方程整理为三次项单独在等号一侧的形式，再通过开立方降次求解，注意区分开立方和开平方的运算差异，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.75

【分析】
(1) 解题思路：首先根据平方根的定义，一个数的平方根是$\pm2$，则这个数等于$2^2=4$，可求出$\sqrt{2x-1}$的值，进而得到$2x$的数值；再根据算术平方根的定义，算术平方根是5的数等于$5^2=25$，代入已得的$2x$的值即可求出$y$；最后将$2x$、$y$代入目标式计算结果，再求其立方根即可。
(2) 解题思路：首先算术平方根是非负数，两个非负数互为相反数，说明两个数都为0，可列等式得到$b-4a=0$、$c-b=0$；再根据立方根的性质，若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身互为相反数，和为0，列方程求出$b$的值，再依次求出$a$、$c$的值，计算$abc$后求其平方根即可。
【解析】
(1) 解：
∵$\sqrt{2x-1}$的平方根是$\pm2$
∴$\sqrt{2x-1}=(\pm2)^2=4$，平方得$2x-1=16$，解得$2x=17$
∵$2x+y+1$的算术平方根是5
∴$2x+y+1=5^2=25$
将$2x=17$代入得$17+y+1=25$，解得$y=7$
代入$2x-3y+18$得：$17-3×7+18=14$
∴$2x-3y+18$的立方根为$\sqrt[3]{14}$
(2) 解：
∵$\sqrt{b-4a}$和$\sqrt{c-b}$互为相反数，且$\sqrt{b-4a}≥0$，$\sqrt{c-b}≥0$
∴$b-4a=0$，$c-b=0$
∵$\sqrt[3]{1-3b}$和$\sqrt[3]{b+1}$互为相反数
∴$1-3b+b+1=0$，解得$b=1$
将$b=1$代入$b-4a=0$得$a=\frac{1}{4}$，代入$c-b=0$得$c=1$
∴$abc=\frac{1}{4}×1×1=\frac{1}{4}$
∴$abc$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt[3]{14}$；(2) $\pm\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 平方根与算术平方根定义 2. 非负数的性质 3. 立方根的性质
【点评】
本题围绕平方根、算术平方根、立方根的性质设置考点，解题的核心是利用各类根式的性质建立方程求解未知量，熟练掌握相关概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们先观察已知等式的结构特征，拆分各部分找规律：①等式左边带分数的整数部分、分子数值相同，记为n；②带分数的分母为$n^3-1$（验证：n=2时分母$2^3-1=7$，n=3时分母$3^3-1=26$，n=4时分母$4^3-1=63$，均符合已知条件）；③等式右边为n乘三次根号下$\frac{n}{n^3-1}$。找到规律后，第一问取n=5、n=6等符合条件的整数代入即可写出例子，第二问用含n的代数式表示规律并验证即可。
【解析】
(1) 验证已知规律成立后，代入数值写例子：
取n=5，分母为$5^3-1=124$，得$\sqrt[3]{5\dfrac{5}{124}}=5\sqrt[3]{\dfrac{5}{124}}$；
取n=6，分母为$6^3-1=215$，得$\sqrt[3]{6\dfrac{6}{215}}=6\sqrt[3]{\dfrac{6}{215}}$。（例子不唯一，n为大于1的正整数即可）
(2) 归纳一般规律：设相同的整数为n（n为正整数，且n≠1，避免分母为0），对左边化简验证：
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^3-1}}=\sqrt[3]{\dfrac{n(n^3-1)+n}{n^3-1}}=\sqrt[3]{\dfrac{n^4}{n^3-1}}=\sqrt[3]{n^3·\dfrac{n}{n^3-1}}=n\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^3-1}}$，和右边相等，规律成立。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{5\dfrac{5}{124}}=5\sqrt[3]{\dfrac{5}{124}},\sqrt[3]{6\dfrac{6}{215}}=6\sqrt[3]{\dfrac{6}{215}}$（答案不唯一）
(2)$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^3-1}}=n\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^3-1}}$($n≠1$,且$n$为正整数)
【知识点】
立方根运算、规律探究、代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要通过观察已知等式的结构特征提炼数量关系，再结合立方根的运算性质验证规律，侧重考查学生的观察归纳能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7