【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此需要分两种情况讨论：①AB=AC，即以点A为圆心、AB长度为半径画弧，找弧与格点的交点；②AB=BC，即以点B为圆心、AB长度为半径画弧，找弧与格点的交点。同时要排除三点共线的情况，最后统计所有符合条件的格点数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先由勾股定理计算AB的长度：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
分两种情况讨论：
1. 当AB=AC时，以A为圆心，$\sqrt{5}$为半径画弧，与网格格点的交点共有2个，均不与A、B共线，可构成等腰三角形；
2. 当AB=BC时，以B为圆心，$\sqrt{5}$为半径画弧，与网格格点的交点共有3个，均不与A、B共线，可构成等腰三角形。
综上，符合条件的格点共有$2+3=5$个。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题需要结合网格特征，利用等腰三角形的判定和勾股定理解题，解题的关键是对“AB为腰”的情况进行分类讨论，避免漏解或多算不符合条件的点。
【难度系数】
0.6

【分析】
要使△ABC是等腰三角形，需分情况讨论已知角∠A是等腰三角形的顶角还是底角，结合三角形内角和为180°计算∠B的度数，每种情况计算后需验证是否符合三角形内角的要求。解题思路如下：①首先考虑∠A为顶角的情况，此时∠B和∠C为相等的底角；②其次考虑∠A为底角，∠B也为底角的情况，此时∠B和∠A相等；③最后考虑∠A为底角，∠B为顶角的情况，此时另一个底角∠C和∠A相等，再求∠B。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当∠A是等腰三角形的顶角时，∠B、∠C是两个相等的底角：
$∠ B=(180° - ∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
2. 当∠A是等腰三角形的底角，且∠B也是底角时：
$∠ B=∠ A=50°$
3. 当∠A是等腰三角形的底角，且∠B是顶角时，另一个底角∠C=∠A=50°：
$∠ B=180° - ∠ A - ∠ C=180°-50°-50°=80°$
以上三种情况均满足三角形内角和为180°，均成立。
【答案】
$50°$或$65°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，易错点是忽略多种情况导致漏解，解题时要对已知角的身份（顶角/底角）进行全面分类，同时注意验证所得角度是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.65

【分析】
要证明△ADF是等腰三角形，可通过证明它的两个内角相等，进而推导两边相等来实现。首先结合已知AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C；再根据FE⊥BC的垂直条件，可知直角三角形的两个锐角互余，由此推出∠F与∠C互余、∠BDE与∠B互余，结合∠B=∠C可得到∠F=∠BDE；最后利用对顶角相等的性质得到∠BDE=∠FDA，通过等量代换即可得到△ADF的两个底角相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C$(等边对等角)。
$\because FE ⊥ BC, \therefore ∠ CEF=∠ BED=90°,$
$\therefore ∠ F+∠ C=90°, ∠ BDE+∠ B=90°,$
$\therefore ∠ F=∠ BDE$(等角的余角相等)。
$\because ∠ BDE=∠ FDA$(对顶角相等), $\therefore ∠ F=∠ FDA$(等量代换),
$\therefore AF=AD$(等角对等边),$\therefore △ ADF$是等腰三角形。
【答案】
证明过程见上述解析，△ADF是等腰三角形成立。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础典型题，解题核心是通过角的等量代换得到待证三角形的两个内角相等，需要灵活运用等腰三角形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等的相关知识，能帮助学生巩固等腰三角形判定的基本思路。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明∠BDF=∠A，可通过证明DF与AC平行，利用平行线同位角相等的性质推导。首先由DE//BC可得∠C=∠AED，结合已知∠EDF=∠C，可推出内错角∠AED=∠EDF，进而证明DF//AC，即可得到∠BDF=∠A。
(2) 先利用(1)的结论得到∠BDF=∠A=45°，再根据角平分线的定义求出∠BDE的度数，结合DE//BC的性质，利用同旁内角互补求出∠B的度数，最后结合∠A的度数即可判断△ABC的形状。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠C=∠AED（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠EDF=∠C，
∴ ∠AED=∠EDF（等量代换），
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠BDF=∠A（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：
∵ ∠A=45°，由(1)可知∠BDF=∠A，
∴ ∠BDF=45°。
∵ DF平分∠BDE，
∴ ∠BDE=2∠BDF=2×45°=90°（角平分线的定义）。
∵ DE//BC，
∴ ∠B+∠BDE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠B=180°-90°=90°。
又
∵ ∠A=45°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=45°，即∠A=∠C，AB=BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) 已证∠BDF=∠A；
(2) △ABC是等腰直角三角形。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练运用平行线的判定和性质，结合角平分线的定义逐步推导，考查了基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明EF=DF，通常思路是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形发现EF、DF所在的△ECF和△DFB不满足全等条件，因此需要作辅助线构造全等三角形：过点D作DH//AC交BC于H，结合AB=AC的等腰性质可推出∠B=∠DHB，得到BD=HD，结合已知CE=BD，可得到HD=CE，再结合平行线的性质和对顶角相等，即可用AAS证明△DHF≌△ECF，从而得到EF=DF。
(2)要证明BC=2FG，可结合等腰三角形三线合一和全等三角形的性质推导：由(1)的结论可知BD=HD，已知DG⊥BC，根据等腰三角形三线合一可得BG=GH；再结合(1)的全等结论可得HF=CF，因此FG=GH+HF=½BH+½CH=½BC，即可推出BC=2FG。
【解析】
(1)过点$D$作$DH // AC$,交$BC$于点$H$,如答图,
则$∠ DHB=∠ ACB, ∠ DHF=∠ ECF.$
$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ ACB, \therefore ∠ B=∠ DHB, \therefore BD=HD.$
$\because CE=BD, \therefore HD=CE.$
在$△ DHF$和$△ ECF$中,$\begin{cases} ∠ DHF=∠ ECF, \\ ∠ DFH=∠ EFC, \\ HD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DHF ≌ △ ECF(\mathrm{AAS}), \therefore EF=DF.$
(2)由(1)知$BD=HD.$
$\because DG ⊥ BC, \therefore BG=GH.$
由(1)得$△ DHF ≌ △ ECF, \therefore HF=CF,$
$\therefore FG=GH+HF=\frac{1}{2}BH+\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}BC,$
$\therefore BC=2FG.$
【答案】
11.证明:(1)过点$D$作$DH // AC$,交$BC$于点$H$,如答图,
则$∠ DHB=∠ ACB, ∠ DHF=∠ ECF.$
$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ ACB, \therefore ∠ B=∠ DHB, \therefore BD=HD.$
$\because CE=BD, \therefore HD=CE.$
在$△ DHF$和$△ ECF$中,$\begin{cases} ∠ DHF=∠ ECF, \\ ∠ DFH=∠ EFC, \\ HD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DHF ≌ △ ECF(\mathrm{AAS}), \therefore EF=DF.$
(2)由(1)知$BD=HD.$
$\because DG ⊥ BC, \therefore BG=GH.$
由(1)得$△ DHF ≌ △ ECF, \therefore HF=CF,$
$\therefore FG=GH+HF=\frac{1}{2}BH+\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}BC,$
$\therefore BC=2FG.$

【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合题型，通过作平行线构造全等三角形是解题的突破口，这类辅助线作法是解决线段相等类证明题的常用技巧，需熟练掌握全等三角形、等腰三角形性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7