【分析】
解题时首先考虑连接辅助线BE，已知D是Rt△ABC斜边BC的中点，BC=12，可先求出BD的长度；再观察到∠A和∠EDB都是直角，AE=DE，且BE是Rt△ABE和Rt△DBE的公共斜边，可根据HL判定两个直角三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等即可得到AB的长度。
【解析】
解：连接BE，
∵ D是BC的中点，BC=12，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6$，
∵ $ED⊥ BC$，$∠ A=90°$，
∴ $∠ A=∠ BDE=90°$，
在$Rt△ ABE$和$Rt△ DBE$中：
$\begin{cases}BE=BE\\AE=DE\end{cases}$
∴ $Rt△ ABE ≌ Rt△ DBE$（HL），
∴ $AB=BD=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，线段中点的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，结合已知条件选用合适的全等判定定理求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先明确两个三角形均为直角三角形：已知∠C=90°，由AO垂直于AC可得∠PAQ=90°，题目已给出斜边PQ=AB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于未明确两三角形的对应边，需分两种情况讨论：①AP与BC是对应边；②AP与AC是对应边，分别计算AP的长度即可。
【解析】
∵ AO⊥AC，
∴ ∠PAQ=∠C=90°，即△ABC和△PQA都是直角三角形，已知PQ=AB，分两种情况讨论：
1. 当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中：
$\{\begin{array}{l}AB=QP\\ BC=PA\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）
2. 当AP=AC=10时，在Rt△ABC和Rt△PQA中：
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ AC=PA\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）
综上，AP的长度为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
HL全等判定，分类讨论思想，全等三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题关键是注意无明确对应关系的全等问题要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题分两小问证明，解题思路如下：
(1) 要证$Rt△ ACD≌ Rt△ A'C'D'$，先确定两个三角形都是直角三角形，已知斜边$AD=A'D'$、一组直角边$AC=A'C'$，直接符合直角三角形全等的HL判定条件，即可完成证明。
(2) 要证$Rt△ ABC≌ Rt△ A'B'C'$，已有条件$AC=A'C'$、$∠C=∠C'=90°$，缺少对应边$BC=B'C'$。先利用第一问全等的结论得$CD=C'D'$，再结合中线的定义，可知$BC=2CD$、$B'C'=2C'D'$，由此推出$BC=B'C'$，最后用SAS判定即可证明两个大三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
∵$∠C=∠C'=90°$，
∴$△ACD$和$△A'C'D'$都是直角三角形。
在$Rt△ACD$和$Rt△A'C'D'$中，
$\begin{cases} AD=A'D',\\ AC=A'C', \end{cases}$
∴$Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)$。
(2) 证明：
∵$Rt△ACD≌Rt△A'C'D'$，
∴$CD=C'D'$。
∵$AD$与$A'D'$分别为$BC$，$B'C'$边上的中线，
∴$CB=2CD$，$C'B'=2C'D'$，即$CB=C'B'$。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，
$\begin{cases} AC=A'C',\\ ∠C=∠C',\\ CB=C'B', \end{cases}$
∴$Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS)$。
【答案】
证明过程见解析。
【知识点】
HL判定、全等三角形的性质、SAS判定
【点评】
本题是全等证明的基础典型题，侧重考查全等判定定理的应用，解题时遵循从易到难的逻辑，先证小三角形全等获取中间条件，再推导得到大三角形全等的所需条件，能有效训练全等证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明BE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先由AD是△ABC的中线得到BD=CD，结合BE⊥AD、CF⊥AD可得两个直角相等，再加上对顶角∠BDE=∠CDF，即可用AAS判定△BED≌△CFD，进而得到对应边BE=CF。
(2) 要证明GA=2DE，首先观察2DE可转化为长度相等的两条DE相加，可先推导GA=EF。结合已知BG=CA和(1)的结论BE=CF，可用HL判定Rt△BGE≌Rt△CAF，得到GE=AF，等式两边同时减去公共线段AE即可得GA=EF；再由(1)的全等结论得DE=DF，因此EF=2DE，即可推出GA=2DE。
【解析】
证明:(1)
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中,$\begin{cases} ∠BED=∠CFD,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴BE=CF.
(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL),
∴GE=AF,
∴GE-AE=AF-AE,即AG=EF.
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,
∴EF=DE+DF=2DE,
∴GA=2DE.
【答案】
证明过程如上所示，(1)得证BE=CF；(2)得证GA=2DE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定、三角形中线的定义
【点评】
本题属于几何常规证明题，第一问为基础的全等判定应用，第二问需要结合前一问的结论推导线段的数量关系，解题时要学会利用已证结论简化推导过程，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明BE=DF，观察可知BE、DF分别在Rt△CBE和Rt△CDF中，已知BC=DC，只需证明这两个直角三角形全等即可。首先由AC平分∠BAF，CE⊥AB、CF⊥AF，可证△ACE≌△ACF得到CE=CF，再结合BC=DC，用HL定理即可证明Rt△CDF≌Rt△CBE，从而得到BE=DF。
(2)求DF的长时，先由△ACE≌△ACF得AE=AF，再结合线段和差关系：AF=AD+DF，AE=AB-BE，且BE=DF，代入已知的AB、AD长度建立关于DF的方程，求解即可得到DF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAE=∠CAF，
∵CE⊥AB，CF⊥AF，
∴∠CEA=∠CEB=∠F=90°，
又
∵AC=AC，
∴△ACE≌△ACF(AAS)，
∴CE=CF，
又
∵BC=DC，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴BE=DF。
(2)解：由(1)知△ACE≌△ACF，
∴AE=AF，
又由(1)知BE=DF，
∴AD+DF=AB-DF，
∵AB=21，AD=9，
∴9+DF=21-DF，
解得DF=6。
【答案】
(1)BE=DF得证；(2)DF的长为6
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，第一问结合角平分线性质和HL判定定理证明全等得到线段相等，第二问借助全等得到的等线段，通过线段和差关系列方程求解，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质，学会利用等量关系转化线段。
【难度系数】
0.7