12.(10分)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)已知这辆纯电动汽车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
答案：12.解:(1)设 $y=kx+b(0≤ x≤240)$，将 $(0,80),(150,50)$ 分别代入 $y=kx+b$，得 $\begin{cases}b=80,\\150k+b=50,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{5},\\b=80,\end{cases}$
$\therefore y=-\dfrac{1}{5}x+80$。
(2)令 $x=240$，则 $y=32$，$\dfrac{32}{100}×100\%=32\%$。
答:该车的剩余电量占“满电量”的32%。
解析：
【分析】
（1）首先观察图像可知剩余电量y与行驶路程x呈一次函数关系，求一次函数表达式可使用待定系数法，先设函数表达式为y=kx+b，从图像中提取已知点坐标(0,80)和(150,50)，代入表达式得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，注意标注x的取值范围。
（2）要求驶出时剩余电量占满电量的百分比，首先需计算行驶240km时的剩余电量：将x=240代入第一问求出的函数表达式，算出对应的y值，再用y的值除以满电量100kW·h，乘100%即可得到结果。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=kx+b\ (0≤ x≤240)$，
将点$(0,80)$、$(150,50)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=80\\150k+b=50\end{cases}$
把$b=80$代入第二个方程，得$150k+80=50$，解得$k=-\dfrac{1}{5}$，
$\therefore$ y与x的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x+80\ (0≤ x≤240)$。
(2) 当行驶路程为240km时，即$x=240$，代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{1}{5}×240 +80 = -48 +80 = 32$
剩余电量占满电量的百分比为：$\dfrac{32}{100}×100\%=32\%$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x+80\ (0≤ x≤240)$
(2) 32%
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题结合新能源汽车续航的生活场景，考查一次函数的基础应用，解题核心是从图像中获取有效坐标信息，正确运用待定系数法求出函数解析式，再代入数值计算即可，需要注意计算过程的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13.(15分)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价;
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少的总费用.
答案：13.解:(1)设 A 种花卉的单价为 $x$ 元,B 种花卉的单价为 $y$ 元。
由题意,得 $\begin{cases}2x+3y=21,\\4x+5y=37,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=3,\\y=5.\end{cases}$
答:A 种花卉的单价为 3 元,B 种花卉的单价为 5 元。
(2)设采购 A 种花卉 $m$ 株,则采购 B 种花卉 $(10000-m)$ 株,总费用为 $W$ 元。
由题意得 $W=3m+5(10000-m)=-2m+50000$。
$\because m≤4(10000-m)$,解得 $m≤8000$。
在 $W=-2m+50000$ 中,$\because -2＜0$,
$\therefore W$ 随 $m$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $m=8000$ 时,$W$ 取得最小值,最小值为 $-2×8000+50000=34000$,此时 $10000-m=2000$。
答:当采购 A 种花卉 8000 株,B 种花卉 2000 株时,总费用最少,为 34000 元。
解析：
【分析】
(1) 第一问要求A、B两种花卉的单价，存在两个未知量，题目给出两组购买总费用的等量关系，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解，代入等量关系得到方程组后，解方程组即可得到两种花卉的单价。
(2) 第二问要找总费用最少的采购方案，首先设采购A种花卉的数量为m株，用总数量减去m即可表示B种花卉的数量，结合单价写出总费用W关于m的一次函数表达式；再根据“A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍”的不等关系，列不等式求出m的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合m的取值范围，找到使W最小的m值，进而求出对应B的数量和最小总费用。
【解析】
(1) 设A种花卉的单价为$x$元，B种花卉的单价为$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}2x+3y=21\\4x+5y=37\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$4x+6y=42$，减去第二个方程得$y=5$，将$y=5$代入$2x+3y=21$，解得$x=3$，即方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$。
答：A种花卉的单价为3元，B种花卉的单价为5元。
(2) 设采购A种花卉$m$株，则采购B种花卉$(10000-m)$株，总费用为$W$元。
由题意得总费用表达式：$W=3m+5(10000-m)=-2m+50000$。
根据采购数量限制列不等式：$m≤4(10000-m)$，解得$m≤8000$。
在一次函数$W=-2m+50000$中，$\because -2＜0$，$\therefore W$随$m$的增大而减小，因此当$m$取最大值8000时，$W$取得最小值。
此时$W=-2×8000+50000=34000$，B种花卉的采购量为$10000-8000=2000$株。
答：当采购A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，为34000元。
【答案】
(1) A种花卉单价3元，B种花卉单价5元；
(2) 采购A种花卉8000株、B种花卉2000株时总费用最少，最少总费用为34000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
【点评】
本题是结合生活场景的应用型题目，融合了方程、不等式与一次函数的核心知识，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，以及对一次函数增减性的理解运用，属于该类知识点的典型考法，理清变量关系、掌握基本解题逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.(15分)如图,直线$l_1:y=x+4$与过点$A(4,0)$的直线$l_2$交于点$B(\dfrac{4}{3},m)$,与$x$轴、$y$轴分别交于点$C,D$,直线$l_2$交$y$轴于点$E$.
(1)求直线$l_2$的函数表达式;
(2)若点$M$在直线$l_1$上,$MN// y$轴,交直线$l_2$于点$N$,且$MN=AC$,求点$M$的坐标;
(3)若点$P$在直线$l_1$上,以$P,D,E$为顶点的三角形为直角三角形,请写出点$P$的坐标.
答案：14.解:(1)在 $y=x+4$ 中,当 $x=\dfrac{4}{3}$ 时,$y=\dfrac{4}{3}+4=\dfrac{16}{3}$,
$\therefore B(\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3})$。
设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=kx+b$,
$\because$ 直线 $l_2$ 过点 $A(4,0),B(\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3})$,
$\therefore\begin{cases}\dfrac{4}{3}k+b=\dfrac{16}{3},\\4k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=8.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-2x+8$。
(2)在 $y=x+4$ 中,当 $y=0$ 时,$x=-4$,从而 $C(-4,0)$,
$AC=4-(-4)=8$。
设 $M(m,m+4)$,则 $N(m,-2m+8)$,
$\therefore MN=|m+4-(-2m+8)|=|3m-4|$。
$\because MN=AC,\therefore |3m-4|=8$,
$\therefore 3m-4=8$ 或 $3m-4=-8$,解得 $m=4$ 或 $m=-\dfrac{4}{3}$,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(4,8)$ 或 $(-\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$。
(3)在 $y=x+4$ 中,当 $x=0$ 时,$y=4$;
在 $y=-2x+8$ 中,当 $x=0$ 时,$y=8$,
$\therefore D(0,4),E(0,8)$。
当$∠ PDE=90°$时,$PD⊥ y$轴,
$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 4,此时点 $P$ 与点 $D$ 重合,不符合题意;当$∠ PED=90°$时,$PE⊥ y$轴,$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 8。
在 $y=x+4$ 中,当 $y=8$ 时,$x=4$,此时点 $P$ 的坐标为 $(4,8)$。
当$∠ DPE=90°$时,$\because OC=OD=4$,
$\therefore ∠ PDE=∠ CDO=45°$,
$\therefore △ PDE$ 是等腰直角三角形,$\therefore PE=PD$,
$\therefore$ 点 $P$ 在线段 $DE$ 的垂直平分线上,
$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 6,
此时点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$。
综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(4,8)$ 或 $(2,6)$。
解析：
【分析】
(1) 要求直线$l_2$的表达式，已知$l_2$过点$A(4,0)$和两直线交点$B$，因此先将$B$的横坐标代入$l_1$的解析式求出$B$的纵坐标，再用待定系数法，代入两个点的坐标列方程组，即可求出$l_2$的解析式。
(2) 先求出$l_1$与$x$轴交点$C$的坐标，计算$AC$的长度；由于$MN// y$轴，$M$、$N$两点横坐标相同，设$M$的横坐标为$m$，分别用两个直线的解析式表示$M$、$N$的纵坐标，$MN$的长度为两点纵坐标差的绝对值，令其等于$AC$的长度，解绝对值方程即可得到$m$的值，进而得到$M$的坐标。
(3) 先求出$D$、$E$两点的坐标，再分三种情况讨论直角三角形的直角顶点：①直角顶点为$D$；②直角顶点为$E$；③直角顶点为$P$。结合$D$、$E$都在$y$轴上的特点，分析每种情况下点$P$的坐标特征，代入$l_1$的解析式求解，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 将$x=\dfrac{4}{3}$代入$y=x+4$，得$y=\dfrac{4}{3}+4=\dfrac{16}{3}$，即$B(\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3})$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3})$代入得：
$\begin{cases}\dfrac{4}{3}k+b=\dfrac{16}{3}\\[1ex]4k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$，因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+8$。
(2) 在$y=x+4$中令$y=0$，得$x=-4$，即$C(-4,0)$，因此$AC=4-(-4)=8$。
设点$M$的坐标为$(m,m+4)$，因为$MN// y$轴，所以点$N$的横坐标也为$m$，代入$l_2$的解析式得$N(m,-2m+8)$。
则$MN=|(m+4)-(-2m+8)|=|3m-4|$，由$MN=AC$得$|3m-4|=8$。
当$3m-4=8$时，解得$m=4$，此时$M(4,8)$；
当$3m-4=-8$时，解得$m=-\dfrac{4}{3}$，此时$M(-\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$。
(3) 在$y=x+4$中令$x=0$得$y=4$，即$D(0,4)$；在$y=-2x+8$中令$x=0$得$y=8$，即$E(0,8)$。
分三种情况讨论：
① 当$∠ PDE=90°$时，$PD⊥ y$轴，点$P$纵坐标为$4$，代入$y=x+4$得$x=0$，此时$P$与$D$重合，不能构成三角形，舍去；
② 当$∠ PED=90°$时，$PE⊥ y$轴，点$P$纵坐标为$8$，代入$y=x+4$得$x=4$，即$P(4,8)$；
③ 当$∠ DPE=90°$时，由$OC=OD=4$得$∠ CDO=45°$，即$∠ PDE=45°$，因此$△ PDE$为等腰直角三角形，$P$在$DE$的垂直平分线上，$DE$中点纵坐标为$\dfrac{4+8}{2}=6$，即$P$的纵坐标为$6$，代入$y=x+4$得$x=2$，即$P(2,6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+8}$
(2) $\boldsymbol{(4,8)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})}$
(3) $\boldsymbol{(4,8)}$或$\boldsymbol{(2,6)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像性质，直角三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数综合应用题，考查了待定系数法求解析式、动点距离计算、直角三角形的分类讨论，解题时要注意绝对值方程的解不唯一，分类讨论直角三角形时不要漏解，同时要验证解是否符合题意，舍去无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.6
