【分析】
解题前先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，无需验证三组边的和的关系，只需将三个边长从小到大排序，验证较小两边的和是否大于最长边即可：若满足则可构成三角形，若小于或等于最长边则无法构成。接下来逐一验证四个选项就能得到答案。
【解析】
我们利用“较小两边之和大于最长边”的判定方法逐一分析选项：
A. 三个边从小到大排序为1,2,3，较小两边和为1+2=3，等于最长边3，不能构成三角形；
B. 三个边从小到大排序为2,3,4，较小两边和为2+3=5，5＞4，满足三边关系，可以构成三角形；
C. 三个边从小到大排序为3,5,8，较小两边和为3+5=8，等于最长边8，不能构成三角形；
D. 三个边从小到大排序为4,5,10，较小两边和为4+5=9，9＜10，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，采用“较短两边之和与最长边比较”的技巧可快速解题，需要注意两边之和等于第三边时，三点共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题的核心是明确计数规则：需要找的三角形必须包含边BC。根据三角形的定义，三角形由不在同一直线上的三个点首尾相连构成，固定BC这条边后，只需逐个寻找能和B、C两点组成三角形的第三个顶点，按顺序枚举即可避免漏数或重复计数。
【解析】
按照一定顺序枚举以BC为边的三角形，分别是：△BCF、△BCE、△BCD、△BCA，合计4个。
【答案】
4
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题考查三角形的基本概念，属于基础题型，只要掌握三角形的定义，按规律计数即可正确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断∠A和∠C的大小关系，可利用三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质求解。首先需要明确两个角分别对应的对边长度：角的对边是指不包含该角顶点的边，找到∠A、∠C各自对应的对边后，比较两条边的长度，即可根据性质得到角的大小关系。
【解析】
在△ABC中：
∠A的对边是BC，长度为3cm；
∠C的对边是AB，长度为5cm。
∵ 3cm ＜ 5cm，即BC ＜ AB，
根据三角形“大边对大角，小边对小角”的性质，可得∠A ＜ ∠C。
【答案】
＜
【知识点】
1. 三角形边角对应关系
2. 大边对大角性质
【点评】
本题考查三角形边与角的不等关系的应用，解题核心是准确找到角对应的对边，结合性质即可快速判断，是基础类题型，掌握性质后不易失分。
【难度系数】
0.9

【分析】
（1）第一问利用等腰三角形两腰相等的性质，结合腰长是底边长2倍的关系设未知数，再根据周长是三边之和的定义列方程求解即可。
（2）第二问中未明确20cm的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论；每种情况算出三边长度后，必须用“三角形任意两边之和大于第三边”的规则验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最终得到有效解。
【解析】
(1) 设底边长为x cm，则腰长为2x cm。
根据周长的定义列方程：$x+2x+2x=85$
解得$x=17$，因此腰长为$2x=2×17=34\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当20cm的边为腰时：
底边长为$85-20×2=45\ \mathrm{cm}$，此时三边长为20cm、20cm、45cm，由于$20+20＜45$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
② 当20cm的边为底边时：
腰长为$(85-20)÷2=32.5\ \mathrm{cm}$，此时三边长为20cm、32.5cm、32.5cm，满足三角形三边关系，可构成三角形。
因此其他两边长均为32.5cm。
【答案】
(1) 腰长为34 cm；
(2) 其他两边的长都为32.5 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题是三角形边的性质的基础应用题，解题的关键是明确等腰三角形的边的特点，遇到未明确边长类型的问题时要主动分类讨论，同时要注意计算后验证三边是否满足构成三角形的条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定含参数的边长中m的取值范围，需用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先观察已知的两条确定边长3和8，第三条边长为1+2m，根据三边关系可直接得到关于1+2m的不等式：两边之差＜第三边＜两边之和，接下来解这个不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意一边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和，可得：
$8 - 3 ＜ 1 + 2m ＜ 8 + 3$
即$5 ＜ 1 + 2m ＜ 11$
不等式各部分同时减1，得：
$4 ＜ 2m ＜ 10$
不等式各部分同时除以2，得：
$2 ＜ m ＜ 5$
【答案】
2＜m＜5
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握三边关系并正确求解不等式，注意列不等式时无需额外拆分多个不等式，利用“第三边介于另两边差与和之间”的规律可简化运算。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，首先明确已知条件：三段铁丝长度均为正整数，总长为12cm，且能组成三角形即满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。为了避免计数时重复或遗漏，我们可以先确定最长边的取值范围，再按最长边的不同取值分类枚举所有符合条件的组合：
1. 先推导最长边的范围：设三边长为$a≤b≤c$（$c$为最长边），首先因为$c$是最长边，所以$3c≥a+b+c=12$，得$c≥4$；其次根据三边关系，$a+b＞c$，代入$a+b=12-c$得$12-c＞c$，得$c＜6$，结合$c$为整数，可确定$c$只能取4、5两个值。
2. 再针对$c$的每个取值，枚举符合$a≤b≤c$且$a+b=12-c$的所有整数组合即可。
【解析】
设三段铁丝的长度分别为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$、$c\mathrm{cm}$，且满足$a ≤ b ≤ c$，均为正整数，根据题意得：
$a + b + c = 12$，且需满足三角形三边关系$a + b ＞ c$。
步骤1：确定最长边$c$的取值范围
① 因为$c$是最长边，所以$c ≥ a$，$c ≥ b$，因此$3c ≥ a + b + c = 12$，解得$c ≥ 4$；
② 由三边关系$a + b ＞ c$，代入$a + b = 12 - c$得：$12 - c ＞ c$，解得$c ＜ 6$。
结合$c$为正整数，可得$c = 4$或$c = 5$。
步骤2：分类枚举符合条件的组合
① 当$c = 4$时，$a + b = 12 - 4 = 8$，又因为$a ≤ b ≤ 4$，所以$b = 4$，$a = 8 - 4 = 4$，即三边长为$(4,4,4)$，共1种；
② 当$c = 5$时，$a + b = 12 - 5 = 7$，又因为$a ≤ b ≤ 5$：
若$b = 5$，则$a = 7 - 5 = 2$，即三边长为$(2,5,5)$；
若$b = 4$，则$a = 7 - 4 = 3$，即三边长为$(3,4,5)$；
共2种。
综上，符合条件的不同三角形共有$1 + 2 = 3$种。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想；整数解求解
【点评】
本题是三角形边长计数的典型题型，解题关键是先通过三边关系确定最长边的取值范围，缩小枚举的范围，再按规则分类枚举，能有效避免计数时的重复和遗漏，考查学生对三边关系的应用和逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）化简含绝对值的式子需先判断绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形三边长，可根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别判断$a-b+c$和$a-b-c$的正负，再结合绝对值的代数意义去绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
（2）求三角形周长需先确定三边长：首先解给定的二元一次方程组得到a、b的长度，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”求出c的取值范围，结合c为偶数的条件筛选出c的可能值，最后验证每组边长可构成三角形后，计算对应周长即可。
【解析】
(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a-b+c＞0$，$a-b-c＜0$，
∴$|a-b+c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b-c)$
$=a-b+c-a+b+c$
$=2c$。
(2) 解方程组$\begin{cases}a+2b=12, \\2a-b=-1,\end{cases}$：
将第二个方程两边乘2得$4a-2b=-2$，与第一个方程相加得$5a=10$，解得$a=2$，
把$a=2$代入$2a-b=-1$得$4-b=-1$，解得$b=5$，即$\begin{cases}a=2, \\b=5,\end{cases}$
根据三角形三边关系得：$5-2＜c＜2+5$，即$3＜c＜7$，
∵c为偶数，
∴c=4或c=6，
当c=4时，三边长为2,5,4，满足$2+4＞5$，可构成三角形，周长为$2+5+4=11$；
当c=6时，三边长为2,5,6，满足$2+5＞6$，可构成三角形，周长为$2+5+6=13$。
【答案】
(1) $2c$；(2) 11或13
【知识点】
三角形三边关系；绝对值化简；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础综合题，结合了代数运算与几何性质，解题关键是熟练应用三角形三边关系，注意求出第三边的取值后要验证是否满足构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）第一小问可根据线段的基本性质直接判断：两点的所有连线中，线段长度最短，路径①是直接连接A、B两点的线段，因此路程最短。
（2）第二小问要证明线段和的不等关系，可利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”推导，通过作辅助线将待比较的线段拆分到不同三角形中：延长BD交AC于点E，分别在两个三角形中写出三边关系的不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段ED，整理后即可得到待证结论。
【解析】
（1）路径①是连接A、B两点的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短，因此走①的路程最短。
（2）证明：如答图，延长BD交AC于点E，
在△BCE中，由三角形三边关系得：$BC+EC＞BE$，又$BE=BD+ED$，因此$BC+EC＞BD+ED$ ①；
在△ADE中，由三角形三边关系得：$AE+ED＞AD$ ②；
将①②左右两边分别相加，得：$BC+EC+AE+ED＞BD+ED+AD$，
两边同时减去$ED$，得：$BC+(EC+AE)＞BD+AD$，
又$EC+AE=AC$，因此$AC+BC＞AD+BD$。
【答案】
(1)两点之间,线段最短
(2)解:如答图,延长BD交AC于点E，
∵BC+EC＞BD+ED,AE+ED＞AD,
∴BC+EC+AE+ED＞BD+ED+AD,
∴BC+EC+AE＞BD+AD,即AC+BC＞AD+BD.

【知识点】
线段的基本性质；三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题是几何基础性质的实际应用题，第一问属于基础送分题，第二问通过构造辅助线将分散的线段整合到三角形中，利用三边关系证明线段和的不等关系，是几何不等证明的常用思路，掌握基础性质和常规辅助线做法即可轻松解题。
【难度系数】
0.75