【分析】
解题时首先根据线段AB的总长和AC:CD:DB的比例关系，求出AC、CD、DB三段的长度；再根据AM、DN与已知线段的数量关系，求出MC、DN的长度；由于题目未明确点N在点D的哪一侧，因此需要分两种情况分类讨论，分别结合线段的和差关系计算MN的长度，避免漏解。
【解析】
已知$AB=12$，$AC:CD:DB=1:2:3$，总份数为$1+2+3=6$，因此：
$AC=\frac{1}{6}×12=2$，$CD=\frac{2}{6}×12=4$，$DB=\frac{3}{6}×12=6$。
由$AM=\frac{1}{2}AC$，得$AM=\frac{1}{2}×2=1$，因此$MC=AC-AM=2-1=1$；
由$DN=\frac{1}{4}DB$，得$DN=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
分两种情况讨论：
① 如图①，当点N在点D右侧时，$MN=MC+CD+DN=1+4+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$；
② 如图②，当点N在点D左侧时，$MN=MC+CD-DN=1+4-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
综上所述，线段MN的长度为$\frac{13}{2}$或$\frac{7}{2}$。
【答案】
线段MN的长为$\frac{13}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段和差计算，比例线段计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段的比例分配与和差计算，解题的关键是注意点的位置的不确定性，需分类讨论所有可能的情况，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题思路如下：1. 先明确余角和为90°、补角和为180°、角平分线将角分成两个相等的小角这三个核心知识点。2. 第(1)问画图时，先计算出∠AOC、∠BOD的度数，再结合角平分线算出∠MOA、∠BON的度数，分OD在OB下方、OB上方两种情况画出对应射线即可。3. 第(2)问计算∠MON时，要根据射线OD、ON的两种位置，分别通过角的和差关系计算，避免漏解。4. 第(3)问把α当作已知数，类比第(2)问的计算方法，结合OM在∠AOB内部的位置，分情况推导表达式即可。
【解析】
(1) 射线OD、ON的位置有两种情况，如图①②所示。
(2) 计算过程如下：
已知∠AOB=40°，
∵ ∠AOC是∠AOB的余角，
∴ $∠ AOC = 90° - ∠ AOB = 90° - 40° = 50°$，
∵ ∠BOD是∠AOB的补角，
∴ $∠ BOD = 180° - ∠ AOB = 180° - 40° = 140°$，
又
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴ $∠ MOA = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×140°=70°$，
分两种情况计算∠MON：
① 如图①，ON在OB与OC的异侧，$∠ MON = ∠ MOA + ∠ AOB + ∠ BON = 25° + 40° + 70° = 135°$；
② 如图②，ON在OB与OC之间，$∠ MON = ∠ BON - ∠ MOA - ∠ AOB = 70° - 25° - 40° = 5°$；
因此∠MON的度数为135°或5°。
(3) 当射线OM在∠AOB内部时，同理分两种情况推导，可得∠MON的表达式为$α+45°$或$135°-2α$。
【答案】
(1) 如图①②所示 (2) ∠MON的度数为135°或5° (3) $∠ MON=α+45°$或$135°-2α$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的相关运算，解题时需注意射线位置的不确定性，要分类讨论避免漏解，熟练掌握余角、补角、角平分线的相关性质是解决本题的基础。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先利用线段中点的性质，将AC、BD分别转化为2倍的EC、DF，再观察EF和AB的线段组成：EF由EC、CD、DF三部分组成，AB由AC、CD、BD三部分组成。先通过已知的EF和CD的长度求出EC+DF的值，再整体代入AB的表达式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵E是AC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}AC$，即$AC=2EC$
∵F是BD的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2DF$
由图可知：$EF=EC+CD+DF$
已知$EF=m$，$CD=n$，代入得：
$EC+DF=EF-CD=m-n$
又
∵线段$AB=AC+CD+BD$
将$AC=2EC$，$BD=2DF$代入得：
$AB=2EC+CD+2DF=2(EC+DF)+CD$
把$EC+DF=m-n$，$CD=n$代入上式：
$AB=2(m-n)+n=2m-2n+n=2m-n$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，整体思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是利用中点性质转化线段的倍分关系，通过观察线段的组成找到已知量和未知量的联系，采用整体代入的方法简化计算，避免单独求解各小段长度的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等，即∠AMB=∠A₁MB、∠DMC=∠D₁MC；再根据点M在AD上，可知这几个角加起来是平角180°，结合已知∠1的度数，先求出∠A₁MB与∠D₁MC的和，最后加上∠1的度数就能得到∠BMC的度数。
【解析】
由折叠的性质可知：∠AMB = ∠A₁MB，∠DMC = ∠D₁MC。
∵ 点M在AD上，∠AMD是平角，度数为180°，
∴ ∠AMB + ∠A₁MB + ∠1 + ∠D₁MC + ∠DMC = 180°。
已知∠1=30°，代入得：
2∠A₁MB + 2∠D₁MC + 30° = 180°，
整理得：2(∠A₁MB + ∠D₁MC) = 150°，
∴ ∠A₁MB + ∠D₁MC = 75°。
又
∵ ∠BMC = ∠A₁MB + ∠D₁MC + ∠1，
代入数值计算得：∠BMC = 75° + 30° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征梳理各角的数量关系，通过简单的和差计算即可得到结果，需要注意不要遗漏折叠后产生的相等角。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算所有线段的长度之和，首先列举出以A、C、D、B为端点的全部线段，再利用线段的和差关系，把这些线段的和转化为用已知的AB、CD表示的形式，最后代入数值计算即可。4个端点共可得到6条线段，观察这些线段的关系，可通过分组凑出AB的长度，简化计算。
【解析】
首先列出所有以A、C、D、B为端点的线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
它们的长度之和为：
$\begin{aligned}\mathrm{长度和}&=AC+AD+AB+CD+CB+DB\\&=(AC+CB)+(AD+DB)+AB+CD\end{aligned}$
根据线段和的性质，$AC+CB=AB$，$AD+DB=AB$，代入上式得：
$\begin{aligned}\mathrm{长度和}&=AB+AB+AB+CD\\&=3AB+CD\end{aligned}$
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\mathrm{长度和}=3×10 + 3=33\ \mathrm{cm}$
【答案】
33
【知识点】
线段计数；线段和差计算
【点评】
本题的核心是不重复、不遗漏地列出所有线段，再通过分组凑整的方式将未知线段和转化为已知线段的组合，无需单独计算各小段长度即可快速求出结果，是线段计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）首先明确平角$∠ AOB=180°$，结合角平分线的性质，可得$∠ AOC=2∠ AOM$、$∠ BOD=2∠ BON$。先计算$∠ AOM+∠ BON$的和，即$180°-∠ MON$，再将$∠ COD$转化为$180°-(∠ AOC+∠ BOD)$，代入即可求出$∠ COD$的度数。
（2）已知$∠ COD=α$，利用角平分线的性质可得$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$、$∠ DON=\frac{1}{2}∠ BOD$，将$∠ MON$拆分为$∠ MOC+∠ COD+∠ DON$，再结合$∠ AOC+∠ BOD=180°-α$，整体代入即可求出$∠ MON$的度数。
【解析】
（1）$\because ∠ AOB$是平角，$\therefore ∠ AOB=180°$。
$\because OM$，$ON$分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOM$，$∠ BOD=2∠ BON$。
$\therefore ∠ AOM+∠ BON=∠ AOB-∠ MON=180°-140°=40°$，
$\therefore ∠ AOC+∠ BOD=2(∠ AOM+∠ BON)=2×40°=80°$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOB-(∠ AOC+∠ BOD)=180°-80°=100°$。
（2）$\because OM$，$ON$分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DON=\frac{1}{2}∠ BOD$。
$\because ∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD=180°-α$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC+∠ COD+∠ DON$
$=\frac{1}{2}∠ AOC + α + \frac{1}{2}∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD) + α$
$=\frac{1}{2}(180°-α) + α$
$=90°+\frac{1}{2}α$。
【答案】
（1）$\boxed{100°}$；（2）$\boxed{90°+\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题侧重考查角的相关计算，解题的核心是灵活运用角平分线的性质，通过角的和差关系进行转化，合理运用整体代入的思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.7