1. 把一根2米长的圆柱形木料锯成同样长的小圆柱，锯了5次，每个小圆柱长(
$\frac {1}{3}$
)米，如果表面积一共增加了2.4平方米，那么每个小圆柱的体积是(
$0.08$
)立方米。
答案：1. $\frac {1}{3}$ $0.08$ 解析：根据题意，每锯一次增加2个底面，锯5次共增加了10个底面。表面积一共增加了2.4平方米，则每个底面的面积为$2.4 ÷ 10 = 0.24$(平方米)。 原来圆柱形木料的体积是$0.24 × 2 = 0.48$(立方米)，锯了5次，共锯成6个小圆柱，则每个小圆柱的体积是$0.48 ÷ 6 = 0.08$(立方米)。
解析：
锯了5次，共锯成$5 + 1=6$段，每个小圆柱长$2÷6=\frac{1}{3}$米。
锯5次增加底面的个数为$5×2 = 10$个，每个底面面积为$2.4÷10 = 0.24$平方米。
每个小圆柱体积为$0.24×\frac{1}{3}=0.08$立方米。
$\frac{1}{3}$；$0.08$
2. 新情境
人文历史 《西游记》是我国古代四大文学名著之一，一直以来深受读者的喜爱。张爷爷想自己制作一根“金箍棒”送给孙子，他准备了一根长12分米、宽2分米、高2分米的长方体木料，如果加工成一根“金箍棒”(圆柱体)，使得浪费的木料最少，那么这根“金箍棒”的体积是(
$37680$
)立方厘米；如果再将这个圆柱削成一个最大的圆锥，那么还要削去(
$25120$
)立方厘米。
答案：2. $37680$ $25120$ 解析：根据题意可知，要使浪费的木料最少，也就是要使加工的“金箍棒”的体积最大。相比较而言，底面直径为2分米、高为12分米的圆柱体积最大，这样这根“金箍棒”的体积即可得知。削成的最大的圆锥与原来的圆柱等底等高，削去部分的体积占原来圆柱体积的$\frac {2}{3}$，削去部分的体积即可求出。
解析：
要使浪费的木料最少，需加工出体积最大的圆柱体。长方体木料有三种加工方式：
1. 以长12分米、宽2分米为底面，高2分米：圆柱底面直径2分米，高2分米，体积$V_1=\pi×(2÷2)^2×2=2\pi$立方分米。
2. 以长12分米、高2分米为底面，宽2分米：圆柱底面直径2分米，高2分米，体积$V_2=2\pi$立方分米。
3. 以宽2分米、高2分米为底面，长12分米：圆柱底面直径2分米，高12分米，体积$V_3=\pi×(2÷2)^2×12=12\pi$立方分米。
比较可知$V_3$最大，$V_3=12\pi=12×3.14=37.68$立方分米=37680立方厘米。
将圆柱削成最大圆锥，圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积为圆柱体积的$\frac{1}{3}$，削去部分体积为圆柱体积的$\frac{2}{3}$，即$37680×\frac{2}{3}=25120$立方厘米。
37680；25120
3. 新情境
传统技艺 铁匠打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一名铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥，然后完全浸入底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了1.5厘米(水未溢出)。这个圆锥的高为(
$45$
)厘米。(损耗忽略不计)
答案：3. $45$ 解析：根据题意，上升部分水的体积等于圆锥的体积，上升部分的水的体积为$31.4 × 0.15 = 4.71$(立方分米)。用圆锥的体积先除以$\frac {1}{3}$，再除以圆锥的底面积即可求出圆锥的高，即$4.71 ÷ \frac {1}{3} ÷ (3.14 × 1^2) = 4.5$(分米)，$4.5$分米$= 45$厘米。
解析：
31.4平方分米=3140平方厘米
圆锥体积=上升水的体积=3140×1.5=4710(立方厘米)
圆锥底面积=π×10²=100π(平方厘米)
圆锥的高=4710×3÷(100π)=14130÷(100×3.14)=14130÷314=45(厘米)
45
4. 如图，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了60平方厘米，如果圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是(
$157$
)立方厘米。
答案：4. $157$ 解析：根据题意，表面积增加了60平方厘米，也就是切开后增加的两个三角形的面积，则其中一个三角形的面积为$60 ÷ 2 = 30$(平方厘米)。通过三角形的面积和三角形的高，可以得知圆锥的底面直径为$30 × 2 ÷ 6 = 10$(厘米)。再运用圆锥的体积公式即可求出圆锥的体积。
解析：
解：表面积增加的部分为两个三角形的面积，每个三角形面积为$60÷2 = 30$平方厘米。
三角形的高为圆锥的高6厘米，设圆锥底面直径为$d$，则$\frac{1}{2}× d×6=30$，解得$d = 10$厘米，半径$r=5$厘米。
圆锥体积$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}×3.14×5^2×6 = 157$立方厘米。
答案：157
1. 新趋势 数学文化 《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载的圆柱体积的计算方法为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱的体积$=\frac{1}{12}×$底面周长的平方$×$高。结合我们学过的圆柱体积的计算公式，该计算方法中圆周率的取值为(
C
)。
A.3.14
B.3.1
C.3
D.3.1415926
答案：1. C
解析：
设圆柱底面半径为$r$，高为$h$。
已知圆柱体积公式为$V=\pi r^2h$。
由题意“周自相乘，以高乘之，十二而一”，底面周长$C=2\pi r$，则体积$V=\frac{1}{12}×(2\pi r)^2× h$。
所以$\pi r^2h=\frac{1}{12}×4\pi^2 r^2h$，化简得$\pi=\frac{12}{4}=3$。
C
2. 如图，以长方形纸的长$a$作底面周长，宽$b$作高分别围成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们配上两个底面。它们的体积相比，(
C
)。
A.长方体的体积最大
B.正方体的体积最大
C.圆柱的体积最大
D.一样大
答案：2. C
解析：
设长方形纸的长为$a$，宽为$b$。
1. 长方体体积
设长方体底面长为$x$，宽为$y$，则$2(x + y)=a$，即$x + y=\frac{a}{2}$。体积$V_1=xyb$。当$x=y$时，$xy$最大，此时为正方体，故长方体体积不大于正方体体积。
2. 正方体体积
正方体底面边长$l=\frac{a}{4}$，体积$V_2=l^2b=(\frac{a}{4})^2b=\frac{a^2b}{16}\approx0.0625a^2b$。
3. 圆柱体积
圆柱底面半径$r=\frac{a}{2\pi}$，体积$V_3=\pi r^2b=\pi(\frac{a}{2\pi})^2b=\frac{a^2b}{4\pi}\approx0.0796a^2b$。
比较得$V_3＞V_2＞V_1$，圆柱体积最大。
C
3. 如图，将棱长相等的两块正方体木料①②分别加工成1个和4个圆柱，剩下木料的体积相比，(
C
)。
A.①大
B.②大
C.一样大
D.无法确定
答案：3. C
解析：
设正方体棱长为$a$。
正方体①加工后剩下木料体积：
正方体体积：$a^3$
圆柱体积：$\pi(\frac{a}{2})^2a=\frac{\pi a^3}{4}$
剩余体积：$a^3 - \frac{\pi a^3}{4}$
正方体②加工后剩下木料体积：
小圆柱半径：$\frac{a}{4}$
1个小圆柱体积：$\pi(\frac{a}{4})^2a=\frac{\pi a^3}{16}$
4个小圆柱总体积：$4×\frac{\pi a^3}{16}=\frac{\pi a^3}{4}$
剩余体积：$a^3 - \frac{\pi a^3}{4}$
两块正方体剩下木料体积相等。
C
