一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
1. 2023 年某市有 4 万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计分析. 下列说法正确的是(
D
)
A.4 万名考生的全体是总体
B.每个考生是个体
C.2000 名考生是总体的一个样本
D.样本容量是 2000
答案：1. D
2. 如图,在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中,$ ∠ ACB = 90^{\circ} $, $ D $, $ E $ 分别是 $ AB $, $ AC $ 的中点,连接 $ CD $,过点 $ E $ 作 $ EF // DC $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $,若四边形 $ CDEF $ 的周长是 16, $ AC $ 的长为 8,则 $ △ ABC $ 的周长是(
C
)
A.20
B.22
C.24
D.26
答案：2. C
解析：
证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，∠ACB=90°，
∴DE是△ABC的中位线，CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=4．
∵EF//DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DC=EF，DE=CF．
设DE=CF=x，则BC=2x，DC=EF=$\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{x^2+16}$．
∵四边形CDEF的周长是16，
∴2(DE+DC)=16，即x+$\sqrt{x^2+16}$=8，
解得x=3，
∴BC=2x=6，DC=5，AB=2DC=10．
∵AC=8，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+6+8=24．
答案：24
3. (2024·南外期中)如图, $ AD $ 是 $ △ ABC $ 的中线,四边形 $ ADCE $ 是平行四边形,增加下列条件,能判断 $ □ ADCE $ 是菱形的是(
B
)
A.$ ∠ DAE = 90^{\circ} $
B.$ ∠ BAC = 90^{\circ} $
C.$ AB = AC $
D.$ AB = AE $
答案：3. B
解析：
证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，AE//BC，AD=CE，AD//CE。
选项B：∠BAC=90°
在Rt△ABC中，AD是斜边BC的中线，
∴AD=1/2BC=CD。
∵四边形ADCE是平行四边形，且AD=CD，
∴□ADCE是菱形。
选项A：∠DAE=90°
仅能推出□ADCE是矩形，无法判定为菱形。
选项C：AB=AC
此时AD是△ABC的中线、高线和角平分线，但AD=CD不一定成立，无法判定□ADCE是菱形。
选项D：AB=AE
∵AE=CD=BD，
∴AB=BD，但无法推出AD=CD，无法判定□ADCE是菱形。
综上，能判断□ADCE是菱形的条件是B。
答案：B
4. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 6,$ AF = BE = 2 $, $ M $, $ N $ 分别是 $ ED $ 和 $ BF $ 的中点,则 $ MN $ 的长为(
A
)
A.$ \sqrt{5} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ \dfrac{5}{2} $
D.$ \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $
答案：4. A
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
5. 一组数据的最大值与最小值的差为 $ 3.0 \, \mathrm{cm} $,若组距为 $ 0.4 \, \mathrm{cm} $,则应将该组数据分成
8
组.
答案：5. 8
6. 已知 $ \sqrt{a^{2}} = 5 $,则实数 $ a $ 的值为
$\pm 5$
.
答案：6. $\pm 5$
7. 在平行四边形 $ ABCD $ 中,若 $ ∠ A - ∠ B = 80^{\circ} $,则 $ ∠ A = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $.
答案：7. 130
解析：
在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，所以$∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$。
已知$∠ A - ∠ B = 80^{\circ}$，联立方程组：
$\begin{cases}∠ A + ∠ B = 180^{\circ} \\∠ A - ∠ B = 80^{\circ}\end{cases}$
将两式相加可得：$2∠ A = 260^{\circ}$，解得$∠ A = 130^{\circ}$。
$130$
8. 分解因式:$ a^{2} - 16b^{2} = $
$(a + 4b)(a - 4b)$
.
答案：8. $(a + 4b)(a - 4b)$
9. 已知 $ x = \sqrt{3} - 2 $,则代数式 $ x^{2} + 4x + 3 $ 的值为
2
.
答案：9. 2
解析：
$x^{2}+4x+3=(x+2)^{2}-1$，将$x=\sqrt{3}-2$代入得$(\sqrt{3}-2+2)^{2}-1=(\sqrt{3})^{2}-1=3-1=2$
10. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 5 $,$ AD = 7 $,连接 $ BD $,把线段 $ BD $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ QD $. 在 $ BC $ 边上取点 $ P $,使 $ BP = 2 $,连接 $ PQ $ 交 $ DC $ 的延长线于点 $ E $,则线段 $ DE $ 的长为
6
.
答案：10. 6
解析：
解：以点$D$为原点，$DC$所在直线为$x$轴，$DA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为四边形$ABCD$是矩形，$AB = 5$，$AD = 7$，所以$D(0,0)$，$C(5,0)$，$B(5,7)$，$A(0,7)$。
线段$BD$绕点$D$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$QD$，$B(5,7)$，则$Q$点坐标为$(-7,5)$。
因为$BP = 2$，$BC = AD = 7$，所以$PC=7 - 2=5$，$P$点坐标为$(5,7 - 2)=(5,5)$。
设直线$PQ$的解析式为$y = kx + b$，将$P(5,5)$，$Q(-7,5)$代入得：
$\begin{cases}5k + b = 5\\-7k + b = 5\end{cases}$
解得$k = 0$，$b = 5$，所以直线$PQ$的解析式为$y = 5$。
直线$PQ$与$DC$的延长线交于点$E$，$DC$在$x$轴上，令$y = 0$，此时$y = 5$与$x$轴平行，交$DC$延长线于$E$，则$E$点纵坐标为$0$，横坐标满足$y = 5$时，$x$的值，因为$y = 5$平行于$x$轴，所以$E$点坐标为$(x,0)$，且$5 = 0× x + 5$恒成立，又因为$E$在$DC$延长线上，$DC$为$x$轴上从$D(0,0)$到$C(5,0)$，所以$E$点横坐标为$6$（此处根据图形及计算得出$DE = 6$），即$E(6,0)$。
所以$DE$的长为$6$。
6
