10. 如图,在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ C = 90^{\circ}$,$BC = 5$,$AC = 12$,$M$为斜边$AB$上的一个动点,过点$M$作$MD ⊥ AC$于$D$,$ME ⊥ CB$于$E$,则线段$DE$长度的最小值为
$\frac{60}{13}$
.
答案：10.$\frac{60}{13}$
解析：
证明：连接$CM$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=12$，$BC=5$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$。
$\because MD⊥ AC$，$ME⊥ CB$，$∠ C=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$CDME$是矩形，$\therefore DE=CM$。
当$CM⊥ AB$时，$CM$最短。
此时，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CM$，
$\therefore CM=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}$。
$\therefore DE$的最小值为$\frac{60}{13}$。
$\frac{60}{13}$
三、解答题(共50分)
11. (10分)先化简,再求值:$(\frac{a + b}{a - b} + \frac{a}{b - a}) ÷ \frac{b^{2}}{a^{2} - ab}$,其中$a$,$b$满足$\vert a - \sqrt{3}\vert + \sqrt{b + 1} = 0$.
答案：11.解:原式$=(\frac{a + b}{a - b} - \frac{a}{a - b})· \frac{a(a - b)}{b^{2}} = \frac{b}{a - b}· \frac{a(a - b)}{b^{2}} = \frac{a}{b}$。
$\because |a - \sqrt{3}| + \sqrt{b + 1} = 0$，$\therefore a = \sqrt{3}$，$b = - 1$，
$\therefore$原式$=\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{ - 1} = - \sqrt{3}$
12. (10分)如图,$P$,$Q$是方格纸中的两个格点,请按要求画出以$PQ$为对角线的格点四边形.
(1)在图①中画出一个面积最小的$□ PAQB$;
(2)在图②中画出一个四边形$PCQD$,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线$CD$由线段$PQ$以某一格点为旋转中心旋转得到.
答案：12.解:(1)如答图①所示.(答案不唯一)
(2)如答图②所示.(答案不唯一)
13. (15分)(2024·无锡锡山期末)为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买$A$,$B$两种型号的污水处理设备共$10$台,已知每台$A$型设备月处理污水量为$2200$吨,每台$B$型设备月处理污水量为$1800$吨,而每台$A$型设备的价格比每台$B$型设备的价格贵$3$万元,且用$90$万元购买$A$型设备的台数与用$75$万元购买$B$型设备的台数刚好相同.
(1)求每台$A$型设备和每台$B$型设备的价格分别是多少万元?
(2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过$165$万元,问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多?最多处理多少吨?
答案：13.解:(1)设每台B型设备的价格为$x$万元，则每台A型设备的价格为$(x + 3)$万元，
根据题意，得$\frac{90}{x + 3} = \frac{75}{x}$，
解得$x = 15$，
经检验，$x = 15$是所列方程的解，且符合题意，
$\therefore x + 3 = 15 + 3 = 18$。
答:每台A型设备的价格为18万元，每台B型设备的价格为15万元。
(2)设购买$m$台A型设备，则购买$(10 - m)$台B型设备，根据题意，得$18m + 15(10 - m) ≤ 165$，
解得$m ≤ 5$。
设购买的10台设备每月处理污水量为$w$吨，则$w = 2200m + 1800(10 - m)$，
$\therefore w = 400m + 18000$。
$\because 400 ＞ 0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m = 5$时，$w$取得最大值，最大值为$400×5 + 18000 = 20000$，此时$10 - m = 10 - 5 = 5$。
答:购买5台A型设备，5台B型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多处理20000吨。
14. (15分)如图,在正方形$ABCD$中,$AB = 5$,$E$是$AB$上的一个定点,且$AE = 2$,$P$是$AD$边上一动点,连接$PE$,以$PE$为边在$AB$的上方作正方形$PEFG$,连接$AF$,$BF$.
(1)求证:$∠ APE = ∠ FEB$;
(2)求点$P$在从点$A$运动到点$D$的过程中,点$F$的移动距离;
(3)随着点$P$的运动,直接写出$FA + FB$的最小值是
$\sqrt{41}$
.
答案：(1)证明:$\because$四边形$ABCD$是正方形，四边形$PEFG$是正方形，
$\therefore ∠ DAB = 90^{\circ}$，$∠ PEF = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ APE + ∠ AEP = 90^{\circ}$，$∠ FEB + ∠ AEP = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ APE = ∠ FEB$。
(2)解:过点$F$作$FH⊥ AB$于点$H$，以$FE$为对角线，作矩形$EKFH$，如答图①。
由(1)可得$∠ APE = ∠ FEB$。$\because$四边形$PEFG$是正方形，$\therefore PE = EF$。
$∠ PAE = ∠ EHF$，
在$△ PEA$和$△ EFH$中，$\begin{cases} ∠ APE = ∠ HEF \\ ∠ PAE = ∠ EHF \\ PE = EF \end{cases}$
$\therefore △ PEA ≌ △ EFH(AAS)$，$\therefore PA = EH$。
$\because$四边形$EKFH$为矩形，$\therefore KF = EH$，
$\therefore PA = KF = EH$，
当点$P$与点$A$重合时，如答图②，$PA = KF = 0$；
当点$P$运动到点$D$时，如答图③，$PA = DA = KF = 5$。
$\therefore$点$P$在从点$A$运动到点$D$的过程中，点$F$的移动距离为5。
(3)$\sqrt{41}$
