2026年启东中学作业本八年级数学下册江苏版第178页解析答案

23. (10 分)阅读:若一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,设$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$,则这个三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
(1)应用:如图①,在$△ ABC$中,$AB=6,AC=5,BC=4$,求$△ ABC$的面积；
(2)引申:如图②,在(1)的条件下,$AD,BE$分别为$△ ABC$的角平分线,它们的交点为$I$,求点$I$到$AB$的距离.

答案：
23.解:(1)设a=4,b=5,c=6,
∴p=$\frac{a + b + c}{2}$=$\frac{15}{2}$,
∴S=$\sqrt{\frac{15}{2}×(\frac{15}{2}-4)×(\frac{15}{2}-5)×(\frac{15}{2}-6)}$=$\sqrt{\frac{15}{2}×\frac{7}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$,
　　即△ABC的面积是$\frac{15\sqrt{7}}{4}$。
　(2)如答图，过点I作IF⊥AB,IG⊥AC,IH⊥BC,垂足分别为F,G,H,连接IC;
　　　　　　　　　

　
∵AD,BE分别为△ABC的角平分线,
　
∴IF=IH=IG。
　
∵S$_{△ ABC}$=S$_{△ ABI}$+S$_{△ ACI}$+S$_{△ BCI}$,
　即$\frac{15\sqrt{7}}{4}$=$\frac{1}{2}$×6IF+$\frac{1}{2}$×5IG+$\frac{1}{2}$×4IH,
∴3IF+$\frac{5}{2}$IG+2IH=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$,
∴$\frac{15}{2}$IF=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$,解得IF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$,
　故点I到AB的距离为$\frac{\sqrt{7}}{2}$。

24. (10 分)阅读材料:将边长分别为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b}$的正方形的面积分别记为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$,则$S_{2}-S_{1}=(a+\sqrt{b})^{2}-a^{2}=[(a+\sqrt{b})+a]· [(a+\sqrt{b})-a]=(2a+\sqrt{b})· \sqrt{b}=b+2a\sqrt{b}$,例如:当$a=1,b=3$时,$S_{2}-S_{1}=3+2\sqrt{3}$.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当$a=1,b=3$时,$S_{3}-S_{2}=$

9+2$\sqrt{3}$

,$S_{4}-S_{3}=$

15+2$\sqrt{3}$

；
(2)当$a=1,b=3$时,把边长为$a+n\sqrt{b}$的正方形的面积记为$S_{n+1}$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S_{n+1}-S_{n}$等于多少吗? 证明你的猜想；
(3)当$a=1,b=3$时,令$t_{1}=S_{2}-S_{1},t_{2}=S_{3}-S_{2},t_{3}=S_{4}-S_{3},···,t_{n}=S_{n+1}-S_{n}$,且$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+··· +t_{50}$,求$T$的值.

答案：24.(1)9+2$\sqrt{3}$　15+2$\sqrt{3}$
　(2)解:S$_{n + 1}$−S$_{n}$=6n−3+2$\sqrt{3}$。
　证明:S$_{n + 1}$−S$_{n}$=(1+$\sqrt{3}$n)$^{2}$−[1+(n−1)$\sqrt{3}$]$^{2}$=[2+(2n−1)$\sqrt{3}$]×$\sqrt{3}$=3(2n−1)+2$\sqrt{3}$=6n−3+2$\sqrt{3}$。
　(3)解:当a=1,b=3时,T=t$_{1}$+t$_{2}$+t$_{3}$+...+t$_{50}$=S$_{2}$−S$_{1}$+S$_{3}$−S$_{2}$+S$_{4}$−S$_{3}$+...+S$_{51}$−S$_{50}$=S$_{51}$−S$_{1}$=(1+50$\sqrt{3}$)$^{2}$−1=7500+100$\sqrt{3}$。