10. 我们把形如$a\sqrt{x}+b$($a,b$为有理数,$\sqrt{x}$为最简二次根式)的数叫作$\sqrt{x}$型无理数,如$3\sqrt{3}+1$是$\sqrt{3}$型无理数,则$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}$是 (
A
)
A.$\sqrt{2}$型无理数
B.$\sqrt{3}$型无理数
C.$\sqrt{6}$型无理数
D.$\sqrt{18}$型无理数
答案：10.A
解析：
$\begin{aligned}(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 &= (\sqrt{3})^2 - 2 · \sqrt{3} · \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \\&= 3 - 2\sqrt{18} + 6 \\&= 9 - 2 · 3\sqrt{2} \\&= 9 - 6\sqrt{2}\end{aligned}$
$9 - 6\sqrt{2}$是$\sqrt{2}$型无理数，答案选A。
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
11. 二次根式$\sqrt{x-1}$有意义的条件是
x≥1
.
答案：11.x≥1
12. 若$\sqrt{20}$与最简二次根式$\sqrt{1-m}$能合并成一项,则$m=$
−4
.
答案：12.−4
解析：
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，因为$\sqrt{20}$与最简二次根式$\sqrt{1 - m}$能合并，所以$1 - m = 5$，解得$m = -4$。
13. 已知矩形的长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,宽为$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$,那么这个矩形的对角线长为
3$\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}$.
答案：13.3$\sqrt{2}$
解析：
矩形的对角线长为 $\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{6})^{2}} = \sqrt{12 + 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
14. (2024·天津)计算$(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)$的结果为
10
.
答案：14.10
解析：
$(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)=(\sqrt{11})^2 - 1^2 = 11 - 1 = 10$
15. 若实数$a$满足$|5-a|+\sqrt{a-6}=a$,则$a=$
31
.
答案：15.31
解析：
由二次根式有意义的条件得$a - 6 ≥ 0$，即$a ≥ 6$。
因为$a ≥ 6$，所以$5 - a ＜ 0$，则$|5 - a| = a - 5$。
原方程可化为：$a - 5 + \sqrt{a - 6} = a$
移项得：$\sqrt{a - 6} = 5$
两边平方得：$a - 6 = 25$
解得：$a = 31$
31
16. 已知实数$a,b$满足$\sqrt{a-3}+|b-1|=0$,则$\frac{b}{\sqrt{a}}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
.
答案：16.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：
解：因为$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且$\sqrt{a - 3} + |b - 1| = 0$，所以$\sqrt{a - 3} = 0$，$|b - 1| = 0$。
由$\sqrt{a - 3} = 0$，得$a - 3 = 0$，即$a = 3$；由$|b - 1| = 0$，得$b - 1 = 0$，即$b = 1$。
则$\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
17. 若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$,小数部分为$y$,则$\sqrt{3}x-y$的值是
1
.
答案：17.1
解析：
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$，小数部分$y = \sqrt{3}-1$。则$\sqrt{3}x - y=\sqrt{3}×1-(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1=1$。
1
18. 我们规定运算符号“△”的意义是:当$a＞b$时,$a△b=a+b$;当$a≤ b$时,$a△b=a-b$.其他运算符号的意义不变,计算:$(\sqrt{3}△\sqrt{2})-(2\sqrt{3}△3\sqrt{2})=$
−$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$
.
答案：18.−$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$
解析：
$(\sqrt{3}△\sqrt{2})-(2\sqrt{3}△3\sqrt{2})$
因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，所以$\sqrt{3} ＞ \sqrt{2}$，则$\sqrt{3}△\sqrt{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$；
因为$2\sqrt{3} \approx 3.464$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，所以$2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$，则$2\sqrt{3}△3\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$；
所以原式$= (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = -\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$
$-\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$
三、解答题(共 56 分)
19. (16 分)计算:
(1)$(2\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})× \sqrt{6}$；
(2)$\frac{6}{b}\sqrt{ab^{5}}· (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷ 3\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$；
(3)$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})$；
(4)$(7-4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^{2}+(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$.
答案：19.解:(1)原式=2$\sqrt{72}$−3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$−3$\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$。
(2)原式=−$\frac{9}{b}$$\sqrt{a^{4}b^{3}}$÷3$\sqrt{\frac{b}{a}}$=−$\frac{3}{b}$$\sqrt{a^{5}b^{2}}$=−3$a^{2}b$$\sqrt{ab}$。
(3)原式=$1^{2}$−($\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)$^{2}$=1−5−2$\sqrt{6}$=−4−2$\sqrt{6}$。
(4)原式=(7−4$\sqrt{3}$)(7+4$\sqrt{3}$)+4−3=49−48+1=2。
20. (6 分)先化简,再求值:$(6x\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{3}{y}\sqrt{xy^{3}})-(4y\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{36xy})$,其中$x=\frac{3}{2},y=27$.
答案：20.解:原式=6$\sqrt{xy}$+3$\sqrt{xy}$−4$\sqrt{xy}$−6$\sqrt{xy}$=−$\sqrt{xy}$，当x=$\frac{3}{2}$，y=27时，原式=−$\sqrt{\frac{3}{2}×27}$=−$\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
