23. (9 分)(2024·广陵区校级期中)阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如$x^{2}-4y^{2}+2x - 4y$，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2}-4y^{2}+2x - 4y$
$=(x^{2}-4y^{2})+(2x - 4y)$…分组
$=(x - 2y)(x + 2y)+2(x - 2y)$…组内分解因式
$=(x - 2y)(x + 2y + 2)$…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：$9x^{2}-9x + 3y - y^{2}$；
(2)已知$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0$，判断$△ ABC$的形状并说明理由。
答案：23. 解：(1) 原式 $ = (9x^2 - y^2) + (-9x + 3y) = (3x + y)(3x - y) - 3(3x - y) = (3x - y)(3x + y - 3) $。
(2) $ △ ABC $ 为等腰三角形。
理由：$ \because a^2 - b^2 - ac + bc = 0 $，
$ \therefore (a + b)(a - b) - c(a - b) = 0 $，
$ \therefore (a - b)(a + b - c) = 0 $，
$ \therefore a - b = 0 $ 或 $ a + b - c = 0 $。
$ \because a + b - c ＞ 0 $，$ \therefore a - b = 0 $，即 $ a = b $，
$ \therefore △ ABC $ 为等腰三角形。
24. (9 分)(2024·亭湖区校级期中)把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积。
例如，由图①，可得等式$(a + 2b)(a + b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$。
(1)由图②，可得等式
$ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $
；
(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知$a + b + c = 11$，$ab + bc + ac = 38$，求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值；
(3)如图③，将两个边长分别为$m$，$n$的正方形拼在一起，$B$，$C$，$G$三点在同一直线上，连接$BD$和$BF$，若$m + n = 10$，$mn = 20$。请求出阴影部分的面积。
答案：24. (1) $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $
(2) 解：由 $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $，
得 $ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ac) $。
$ \because a + b + c = 11 $，$ ab + bc + ac = 38 $，
$ \therefore a^2 + b^2 + c^2 = 11^2 - 2 × 38 = 45 $。
(3) 解：$ S_{\mathrm{阴影}} = m^2 + n^2 - \frac{1}{2}(m + n)n - \frac{1}{2}m^2 = \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}n^2 = \frac{1}{2}(m + n)^2 - \frac{3}{2}mn $。
$ \because m + n = 10 $，$ mn = 20 $，
$ \therefore S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2} × 10^2 - \frac{3}{2} × 20 = 20 $。
