20. (8 分)(2024·工业园区校级期中)如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”。例如，$8 = 3^{2}-1^{2}$，$16 = 5^{2}-3^{2}$，$24 = 7^{2}-5^{2}$，因此 8，16，24 都是“正巧数”。
(1)写出 30 到 50 之间的“正巧数”；
(2)设两个连续正奇数为$2k - 1$和$2k + 1$（其中$k$是正整数），由它们构成的“正巧数”能被 8 整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明；
(3)$m$，$n$为正整数，且$m ＞ n$，若$(m - 7)(m + 7)+n^{2}-2mn$是“正巧数”，求$m - n$的值。
答案：20. 解：(1) 设 30 到 50 之间的“正巧数”为 $ (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 $，$ n $ 为正整数，
则 $ 30 ＜ (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 ＜ 50 $，
整理，得 $ 30 ＜ 8n ＜ 50 $，解得 $ \frac{15}{4} ＜ n ＜ \frac{25}{4} $。
$ \because n $ 为正整数，$ \therefore n $ 的值为 4，5，6，
$ \therefore 30 $ 到 50 之间的“正巧数”共有 3 个，它们分别是 32，40，48。
即 $ 32 = 9^2 - 7^2 $，$ 40 = 11^2 - 9^2 $，$ 48 = 13^2 - 11^2 $。
(2) “正巧数”能被 8 整除. 理由如下：
$ \because (2k + 1)^2 - (2k - 1)^2 = [(2k + 1) + (2k - 1)] · [(2k + 1) - (2k - 1)] = 8k $，
又 $ \because k $ 是正整数，$ \therefore 8k $ 能被 8 整除，
$ \therefore (2k + 1)^2 - (2k - 1)^2 $ 能被 8 整除，
$ \therefore $ “正巧数”能被 8 整除。
(3) $ \because (m - 7)(m + 7) + n^2 - 2mn = m^2 - 7^2 + n^2 - 2mn = (m - n)^2 - 7^2 $，$ \therefore m - n = 9 $。
21. (9 分)对于多项式$x^{3}-5x^{2}+x + 10$，我们把$x = 2$代入此多项式，发现$x = 2$能使多项式$x^{3}-5x^{2}+x + 10$的值为 0，由此可以断定多项式$x^{3}-5x^{2}+x + 10$中有因式$(x - 2)$（注：把$x = a$代入多项式，能使多项式的值为 0，则多项式一定含有因式$(x - a)$），于是我们可以把多项式写成$x^{3}-5x^{2}+x + 10=(x - 2)(x^{2}+mx + n)$，分别求出$m$，$n$后再代入$x^{3}-5x^{2}+x + 10=(x - 2)(x^{2}+mx + n)$中，就可以把多项式$x^{3}-5x^{2}+x + 10$因式分解。
(1)求式子中$m$，$n$的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^{3}+5x^{2}+8x + 4$。
答案：21. 解：(1) $ \because x^3 - 5x^2 + x + 10 = (x - 2)(x^2 + mx + n) = x^3 + (m - 2)x^2 + (n - 2m)x - 2n $，
$ \therefore m - 2 = -5 $，$ n - 2m = 1 $，$ \therefore m = -3 $，$ n = -5 $。
(2) 把 $ x = -1 $ 代入 $ x^3 + 5x^2 + 8x + 4 $，得其值为 0，
则多项式可分解为 $ (x + 1)(x^2 + ax + b) $ 的形式，
$ \therefore x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + ax + b) = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + b)x + b $，
$ \therefore a + 1 = 5 $，$ a + b = 8 $，$ \therefore a = 4 $，$ b = 4 $，
$ \therefore x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)^2 $。
22. (9 分)(2025·盐城月考)任意一个四位数$n$且十位数字不为 0，可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数$m$，记$f(n)=\frac{n - m}{99}$。
例如：当$n = 1234$时，则$m = 3412$，则$f(1234)=\frac{1234 - 3412}{99}=-22$。
(1)直接写出$f(2321)=$
2
，$f(4078)=$
$ -38 $
；
(2)求证：对任意一个四位数$n$，$f(n)$均为整数；
(3)若$s = 1800 + 10a + b$，$t = 1000b + 100a + 20$($1≤ a≤3$，$1≤ b≤5$，$a$，$b$均为整数)，当$f(s)+f(t)$是一个完全平方数时，求所有满足条件的$s$的值。
答案：22. (1) 2 $ -38 $
(2) 证明：设四位数为 $ n = 100a + b $，前两位数为 $ a $，后两位数为 $ b $（$ a $，$ b $ 均为整数），
交换后为 $ m = 100b + a $，差值为 $ n - m = 100a + b - (100b + a) = 99(a - b) $，
故 $ f(n) = \frac{n - m}{99} = \frac{99(a - b)}{99} = a - b $。
$ \because a $，$ b $ 均为整数，$ \therefore a - b $ 是整数，
$ \therefore $ 对任意一个四位数 $ n $，$ f(n) $ 均为整数。
(3) 解：因为 $ s = 1800 + 10a + b $，$ t = 1000b + 100a + 20 $（$ 1 ≤ a ≤ 3 $，$ 1 ≤ b ≤ 5 $，$ a $，$ b $ 均为整数），
所以 $ s = 1800 + 10a + b $，前两位数为 18，后两位数为 $ 10a + b $，
故 $ f(s) = 18 - (10a + b) $。$ t = 1000b + 100a + 20 $，前两位数为 $ 10b + a $，后两位数为 20，
故 $ f(t) = (10b + a) - 20 $，
$ f(s) + f(t) = 18 - (10a + b) + (10b + a) - 20 = 18 - 10a - b + 10b + a - 20 = 9(b - a) - 2 $，
需满足 $ 9(b - a) - 2 = k^2 $（$ k $ 为整数）。
因为 $ 1 ≤ a ≤ 3 $，$ 1 ≤ b ≤ 5 $，$ a $，$ b $ 均为整数，符合条件的组合有 $ a = 1 $，$ b = 3 $，$ s = 1813 $，此时 $ f(s) + f(t) = 9(b - a) - 2 = 16 = 4^2 $，满足题意；$ a = 1 $，$ b = 4 $，$ s = 1814 $，此时 $ f(s) + f(t) = 9(b - a) - 2 = 25 = 5^2 $，满足题意；$ a = 2 $，$ b = 4 $，$ s = 1824 $，此时 $ f(s) + f(t) = 9(b - a) - 2 = 16 = 4^2 $，满足题意；$ a = 2 $，$ b = 5 $，$ s = 1825 $，此时 $ f(s) + f(t) = 9(b - a) - 2 = 25 = 5^2 $，满足题意；$ a = 3 $，$ b = 5 $，$ s = 1835 $，此时 $ f(s) + f(t) = 9(b - a) - 2 = 16 = 4^2 $，满足题意。
故满足条件的 $ s $ 的值为 1813，1814，1824，1825，1835。
