解：
∵四边形$ABCD$是菱形，两条对角线的长分别为$6$和$8$，
∴菱形的面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
∵菱形的对角线互相平分，过点$O$的直线将菱形分成的部分关于点$O$中心对称，
∴阴影部分的面积为菱形面积的一半，即$\frac{1}{2}×24 = 12$。
D

解：设运动时间为$t$秒，$AE = CF = t$，则$E(t,0)$，$F(\sqrt{3}-t,1)$。
直线$l$的斜率$k = \frac{1 - 0}{(\sqrt{3}-t)-t} = \frac{1}{\sqrt{3}-2t}$，方程为$y = \frac{1}{\sqrt{3}-2t}(x - t)$，即$x - (\sqrt{3}-2t)y - t = 0$。
点$A(0,0)$到直线$l$的距离$AG = \frac{|0 - 0 - t|}{\sqrt{1 + (\sqrt{3}-2t)^2}} = \frac{t}{\sqrt{4t^2 - 4\sqrt{3}t + 4}}$。
令$u = 4t^2 - 4\sqrt{3}t + 4$，则$AG = \frac{t}{\sqrt{u}}$，平方得$AG^2 = \frac{t^2}{4t^2 - 4\sqrt{3}t + 4} = \frac{1}{4 - \frac{4\sqrt{3}}{t} + \frac{4}{t^2}}$。
设$m = \frac{1}{t}$，则$AG^2 = \frac{1}{4m^2 - 4\sqrt{3}m + 4} = \frac{1}{4(m - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1}$。
当$m = \frac{\sqrt{3}}{2}$，即$t = \frac{2}{\sqrt{3}}$时，$AG^2$最大为$1$，$AG$最大值为$1$。
答案：D

在平行四边形$ABCD$中，$∠A + ∠B = 180°$，$∠A = ∠C$。
因为$∠A = 3∠B$，所以$3∠B + ∠B = 180°$，解得$∠B = 45°$，则$∠A = 3×45° = 135°$，故$∠C = ∠A = 135°$。
135°

解：设正方形 $ABCD$ 的边长 $BC = a$，则对角线 $AC = BD = \sqrt{2}a$，$OA = OC = OB = OD = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
因为 $E$ 是 $OA$ 的中点，所以 $OE = \frac{1}{2}OA = \frac{\sqrt{2}}{4}a$。
在正方形中，$∠ AOD = 90°$，$∠ FEO = 45°$，则$△ EOF$ 是等腰直角三角形，$OE = OF = \frac{\sqrt{2}}{4}a$。
所以 $EF = \sqrt{OE^2 + OF^2} = \sqrt{2}OE = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{4}a = \frac{1}{2}a$。
因此，$\frac{EF}{BC} = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE$//$BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×8=4$。
∵DH⊥BC，DE$//$BC，
∴DH⊥DE，即∠EDH=90°。
在Rt△DEH中，DE=4，DH=3，
∴EH=$\sqrt{DE^2+DH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
5

解：设 $ BE = x $，由折叠性质得 $ EF = BE = x $，$ CF = BC - BE = 4 - x $。
在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD = 5 $，$ AD = BC = 4 $。
在 $ △ ADF $ 中，$ AF = AB = 5 $，$ AD = 4 $，由勾股定理得 $ DF = \sqrt{AF^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 $，则 $ CF = CD - DF = 5 - 3 = 2 $。
在 $ △ ECF $ 中，$ EC = 4 - x $，$ CF = 2 $，$ EF = x $，由勾股定理得 $ (4 - x)^2 + 2^2 = x^2 $，解得 $ x = \frac{5}{2} = 2.5 $。
$ 2.5 $

解：连接AF，设正方形边长为$a$，$∠ DAE = θ$，则$∠ BAE = 90° - θ$。
由旋转性质得：$EA = EF$，$∠ AEF = 60°$，故$△ AEF$为等边三角形，$AF = AE$。
在$Rt△ ADE$中，$AE = \frac{AD}{\cosθ} = \frac{a}{\cosθ}$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ BAF = 90° - θ + 60° = 150° - θ$，$AF = \frac{AB}{\cos(150° - θ)} = \frac{a}{\cos(150° - θ)}$。
因此$\cosθ = \cos(150° - θ)$，解得$θ = 75°$。
$75$