答案：
1. ①③④ 点拨:如答图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.
∵F是CD的中点,
∴DF=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵CD=2AD,
∴CF=CB,
∴∠CFB=∠CBF.
∵CD//AB,
∴∠CFB=∠FBH,
∴∠CBF=∠FBH,
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确.
∵DE//CG,
∴∠D=∠FCG.
∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,
∴△DFE≌△CFG(ASA),
∴$EF=GF,S_{△DFE}=S_{△CFG},$
∴$S_{四边形DEBC}=S_{△EBG}=2S_{△EFB},$故③正确.
当点E与点A重合时$,BE=\sqrt{2}BF,$故②错误.
∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,
∴CF=BH.
∵CF//BH,
∴四边形BCFH是平行四边形.
∵CF=BC,
∴四边形BCFH是菱形,
∴∠BFC=∠BFH.
∵FH//AD,BE⊥AD,
∴FH⊥BE.
∵BE⊥AD,AD//BC,
∴BE⊥BC,
∴∠EBG=90°.
∵F为EG的中点,
∴EF=BF,
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,
∴∠CFE=3∠DEF,故④正确.

答案：
2. $\frac{3}{2}$ 点拨:连接AC,BD,如答图.
∵O为平行四边形ABCD的对称中心,
∴AC与BD相交于点O.
∵AC与BD是平行四边形ABCD的对角线,
∴S_{△AOB}=S_{△AOD}.过点O分别作AB和AD的垂线,垂足分别为P和Q,
∴$\frac{1}{2}AB·OP=\frac{1}{2}AD·OQ$.
∵AB=6,AD=BC=8,
∴3OP=4OQ,即$\frac{OQ}{OP}=\frac{3}{4}$.
∵线段MN与EF将平行四边形ABCD分成面积相等的四份,
∴S_{△AOB}=S_{四边形AEOM},即S_{△AOE}+S_{△BOE}=S_{△AOE}+S_{△AOM},
∴S_{△BOE}=S_{△AOM},
∴$\frac{1}{2}BE·OP=\frac{1}{2}AM·OQ$.
∴BE=$\frac{OQ}{OP}·AM=\frac{3}{4}×2=\frac{3}{2}$.

答案：
3. 解:BE=2AM,理由如下:
延长AM到点N,使MN=AM,连接CN,如答图,则AN=2AM.
∵AM为△ACD的中线,
∴DM=CM.
在△ADM和△NCM中,$\{\begin{array}{l}DM=CM,\\∠AMD=∠NMC,\\AM=NM,\end{array} $
∴△ADM≌△NCM(SAS),
∴AD=CN,∠DAM=∠N,
∴AD//CN,
∴∠DAC+∠ACN=180°.
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠BAE+∠DAC=180°,
∴∠ACN=∠BAE.
∵AD=AE,AD=CN,
∴CN=AE.
在△ACN和△BAE中,$\{\begin{array}{l}AC=BA,\\∠ACN=∠BAE,\\CN=AE,\end{array} $
∴△ACN≌△BAE(SAS),
∴AN=BE.
∵AN=2AM,
∴BE=2AM.