3. (2024·建邺区期末)《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂;从部分到整体,由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.在处理分数和分式的问题时,有时我们可以将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式,继而解决问题,我们称这种方法为分离常数法.
示例:将分式$\frac{3x - 2}{x - 1}$分离常数,则$\frac{3x - 2}{x - 1}=\frac{3(x - 1)+m}{x - 1}=3+\frac{m}{x - 1}$.
(1)示例中,$m=$
1
.
(2)参考示例方法,将分式$\frac{2x + 5}{x + 1}$分离常数.
(3)借鉴研究反比例函数的经验,可以对函数$y=\frac{2x + 5}{x + 1}$的图象和性质进行探索,下列结论正确的是
②③④
.(填序号)
①图象与坐标轴没有交点;
②在第一象限内,$y$随$x$的增大而减小;
③图象关于点$(-1,2)$中心对称;
④图象关于直线$y = x + 3$成轴对称.
(4)如果某个点的横、纵坐标均为整数,那么称这个点为“整数点”.直接写出函数$y=\frac{2x + 5}{x + 1}$图象上所有“整数点”的坐标.
答案：3. (1)1
(2)解：$\frac{2x + 5}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 3}{x + 1} = 2 + \frac{3}{x + 1}$。
(3)②③④ 点拨：$y = \frac{2x + 5}{x + 1} = 2 + \frac{3}{x + 1}$，
①$\because x = 0$时，$y = 5$，
$\therefore$图象与$y$轴交于点$(0,5)$，故①错误；
②$\because x ＞ 0$时，$y ＞ 0$，且$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小，故②正确；
③$\because$函数$y = \frac{3}{x}$的图象关于原点中心对称，而函数$y = 2 + \frac{3}{x + 1}$的图象是由函数$y = \frac{3}{x}$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，
$\therefore$图象关于点$(- 1,2)$中心对称，故③正确；
④$\because$函数$y = \frac{3}{x}$的图象关于直线$y = x$对称，而函数$y = 2 + \frac{3}{x + 1}$的图象是由函数$y = \frac{3}{x}$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，
$\therefore$图象关于直线$y = (x + 1) + 2$，即$y = x + 3$成轴对称，故④正确。
(4)解：$y = \frac{2x + 5}{x + 1} = 2 + \frac{3}{x + 1}$，
当$x + 1$的值为1或$- 1$或3或$- 3$，即$x$的值为0或$- 2$或2或$- 4$时，$y$的值为5或$- 1$或3或1，
$\therefore$函数$y = \frac{2x + 5}{x + 1}$图象上所有“整数点”的坐标为$(0,5)$，$(- 2,- 1)$，$(2,3)$，$(- 4,1)$。
