1. 定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.下列式子中,属于“和谐分式”的是
①③④
.(填序号)
①$\frac{x + 1}{x}$;②$\frac{2 + x}{2}$;③$\frac{x + 2}{x + 1}$;④$\frac{y^{2}+1}{y^{2}}$.
答案：1. ①③④
2. 已知$M=\frac{x + 1}{2},N=\frac{2x}{x + 1}$.
(1)当$x＞0$时,判断$M - N$与$0$的大小关系,并说明理由.
(2)设$y=\frac{2}{M}+N$.
①当$y = 3$时,求$x$的值;
②若$x$是整数,求$y$的正整数值.
答案：2. 解：(1)当$x ＞ 0$时，$M - N ≥ 0$。理由如下：
$M - N = \frac{x + 1}{2} - \frac{2x}{x + 1} = \frac{(x - 1)^2}{2(x + 1)}$。
$\because x ＞ 0$，$\therefore (x - 1)^2 ≥ 0$，$2(x + 1) ＞ 0$，
$\therefore \frac{(x - 1)^2}{2(x + 1)} ≥ 0$，$\therefore M - N ≥ 0$。
(2)依题意，得$y = \frac{4}{x + 1} + \frac{2x}{x + 1} = \frac{2x + 4}{x + 1}$。
①当$y = 3$时，即$\frac{2x + 4}{x + 1} = 3$，解得$x = 1$。经检验，$x = 1$是原方程的解，
$\therefore$当$y = 3$时，$x$的值为1。
②$y = \frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{2x + 2 + 2}{x + 1} = 2 + \frac{2}{x + 1}$。
$\because x$，$y$是整数，$\therefore \frac{2}{x + 1}$是整数，$\therefore x + 1$可以取$\pm 1$，$\pm 2$。
当$x + 1 = 1$，即$x = 0$时，$y = 4 ＞ 0$，符合题意；
当$x + 1 = - 1$，即$x = - 2$时，$y = 0$，不符合题意，舍去；
当$x + 1 = 2$，即$x = 1$时，$y = 3 ＞ 0$，符合题意；
当$x + 1 = - 2$，即$x = - 3$时，$y = 1 ＞ 0$，符合题意。
综上，当$x$是整数时，$y$的正整数值为4或3或1。
