1. 已知四边形 $ABCD$ 为正方形，点 $P$ 在直线 $BC$ 上，连接 $AP$，过点 $A$ 作 $AP$ 的垂线交直线 $CD$ 于点 $Q$.
(1) 如图①，点 $P$ 在边 $CB$ 的延长线上，求证：$CP = AB + DQ$.
(2) 如图②，点 $P$ 在边 $BC$ 上，直接写出 $CP$，$AB$，$DQ$ 之间的数量关系；连接 $AC$，若 $AC = 2\sqrt{6}$，直接写出四边形 $PCQA$ 的面积. (不需要写具体过程)
答案：1.(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD=BC,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABP=90°=∠D.
∵AP⊥AQ,
∴∠PAQ=90°,
∴∠PAB+∠BAQ=90°,
∵∠DAQ+∠BAQ=90°,
∴∠PAB=∠QAD,
∴△PAB≌△QAD(ASA),
∴PB=DQ,
∴CP=BC+PB=AB+DQ
(2)解:CP=AB−DQ.
四边形PCQA的面积为12.
2. (1) 如图①，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$CD$ 上的点，且 $∠ EAF = 45^{\circ}$，探究图中线段 $BE$，$EF$，$FD$ 之间的数量关系，并说明理由；
(2) 如图②，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC$，点 $G$，$H$ 在边 $AC$ 上，且 $∠ GBH = 45^{\circ}$，写出图中线段 $AG$，$GH$，$CH$ 之间的数量关系并证明.
答案：2.解:(1)EF=BE+DF;理由如下:
如答图①,将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠B=∠ADF=90°.
由旋转的性质,得DG=BE、∠BAE=∠DAG,AE=AG,∠ADG=∠B=90°,
∴点F,D,G在同一条直线上.
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠FAG=∠EAF.
又
∵AF=AF,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴EF=BE+DF.
(2)GH²=AG²+CH²,证明如下:
∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠C=45°.
如答图②,将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM,连接MG.
由旋转知BH=BM,∠C=∠BAM=45°,∠ABM=∠CBH,
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°.
∵∠HBG=45°,
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°−∠HBG=45°,
∴∠HBG=∠MBG.
又
∵BG=BG,
∴△BGH≌△BGM(SAS),
∴GH=GM;
∵∠MAG=90°,
∴AM²+AG²=GM²,
∴GH²=AG²+CH².
