1. 在$□ ABCD$中，添加以下哪个条件能判断其为菱形(
D
)
A.$AB\bot BC$
B.$BC\bot CD$
C.$CD\bot AC$
D.$AC\bot BD$
答案：1. D
2. 能够判定一个四边形是菱形的条件是(
C
)
A.对角线相等且互相垂直
B.对角线互相平分且相等
C.对角线互相垂直且互相平分
D.对角线互相垂直
答案：2. C
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$BD$平分$∠ ABC$，求证：$□ ABCD$是菱形.
答案：3. 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴□ABCD 是菱形.
4. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，过$AD$的中点$O$作垂线，分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$两点，连接$DE$，$DF$. 求证：四边形$AEDF$是菱形.
答案：4. 证明:
∵EF 垂直平分 AD,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAD=∠FDA,
∴AB//DF. 同理可得 AC//DE,
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
又
∵AD⊥EF,
∴四边形 AEDF 是菱形.
5. (2024·苏州吴中、高新区期中)如图，在矩形$ABCD$中，对角线$BD$的垂直平分线$MN$分别与$AD$，$BD$，$BC$交于点$M$，$O$，$N$，连接$BM$，$DN$.
(1) 求证：四边形$BMDN$是菱形；
(2) 若$AB = 4$，$AD = 8$，求菱形$BMDN$的面积.
答案：5. (1) 证明:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD//BC,∠A=90°,
∴∠MDO=∠NBO.
∵MN 垂直平分 BD,
∴OB=OD.
∴△DMO≌△BNO(ASA),
∴OM=ON.
∵OB=OD,
∴四边形 BMDN 是平行四边形.
∵MN⊥BD,
∴平行四边形 BMDN 是菱形.
(2) 解:
∵四边形 BMDN 是菱形,
∴MB=MD.
设 MD=x,则 MB=x,
在 Rt△AMB 中,BM²=AM²+AB²,
即 x²=(8 - x)²+4²,解得 x=5,
∴$S_{菱形 BMDN}=DM·AB=5×4=20.$
