2. (2024·零陵区期末) 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如图：
【问题探究】
(1) 第一步：如图①，对折矩形纸片 $ABCD$，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，折痕为 $EF$，把纸片展平；
第二步：在 $AD$ 上选一点 $P$，沿 $BP$ 折叠纸片，使点 $A$ 落在矩形内部的点 $M$ 处，连接 $PM$，$BM$，根据以上操作，当点 $M$ 在 $EF$ 上时，$∠ PBM=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
【类比应用】
(2) 如图②，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 $ABCD$ 按照(1)中的方式操作，并延长 $PM$ 交 $CD$ 于点 $Q$，连接 $BQ$，当点 $M$ 在 $EF$ 上时，求 $∠ MBQ$ 的度数；
【拓展延伸】
(3) 在(2)的探究中，正方形纸片的边长为 $4$，改变点 $P$ 在 $AD$ 上的位置(点 $P$ 不与点 $A$，$D$ 重合)，沿 $BP$ 折叠纸片，使点 $A$ 落在矩形内部的点 $M$ 处，连接 $PM$，$BM$，并延长 $PM$ 交 $CD$ 于点 $Q$，连接 $BQ$。当 $QF = 1$ 时，请求出 $AP$ 的长。
答案：(1)30
(2)解:由(1)可得$∠ ABM = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠ CBM = ∠ ABC - ∠ ABM = 90^{\circ}- 60^{\circ}= 30^{\circ}$.
在正方形$ABCD$中，$AB = BC$，$∠ A = ∠ C = 90^{\circ}$，
由折叠知$AB = BM$，$∠ PMB = ∠ A = 90^{\circ}$，
$\therefore BC = BM$，$∠ BMQ = ∠ C = 90^{\circ}$.
在$\mathrm{Rt}△ BMQ$和$\mathrm{Rt}△ BCQ$中，$\begin{cases} BQ = BQ \\ BM = BC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BMQ≌\mathrm{Rt}△ BCQ(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ MBQ = ∠ CBQ$，
$\therefore ∠ MBQ = \frac{1}{2}∠ CBM = \frac{1}{2}× 30^{\circ}= 15^{\circ}$.
(3)解:当点$Q$在点$F$的下方时，如答图①，
$\because$在正方形$ABCD$中，$AD = CD = 4$，
$\therefore DQ = QF + DF = 1 + \frac{1}{2}CD = 1 + 2 = 3$，
$\therefore CQ = CD - DQ = 4 - 3 = 1$.
由(2)知$\mathrm{Rt}△ BMQ≌\mathrm{Rt}△ BCQ$，
$\therefore MQ = CQ = 1$.
设$AP = x$，由折叠知$MP = AP = x$，
$\therefore PQ = MP + MQ = x + 1$，$PD = AD - AP = 4 - x$.
在$\mathrm{Rt}△ PDQ$中，$PD^{2}+DQ^{2}=PQ^{2}$，
$\therefore (4 - x)^{2}+3^{2}=(x + 1)^{2}$，
解得$x = \frac{12}{5}$，即$AP = \frac{12}{5}$；
当点$Q$在点$F$的上方时，如答图②，
$DQ = DF - QF = \frac{1}{2}CD - 1 = 2 - 1 = 1$，
$\therefore CQ = CD - DQ = 4 - 1 = 3$，$\therefore MQ = CQ = 3$.
设$AP = MP = x$，
则$PD = AD - AP = 4 - x$，$PQ = MP + MQ = x + 3$，
在$\mathrm{Rt}△ PDQ$中，$PD^{2}+DQ^{2}=PQ^{2}$，
$\therefore (4 - x)^{2}+1^{2}=(x + 3)^{2}$，解得$x = \frac{4}{7}$，即$AP = \frac{4}{7}$.
综上，$AP$的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{4}{7}$.
