1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E，F在边BC上，DE//AB，AF//DC，AE//DF.
(1)AD与BC有何数量关系？请说明理由；
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AEFD是矩形，请说明理由；
(3)当四边形ABCD满足条件
∠B=∠C=45°
时，四边形AEFD是正方形.(只写结论，不需证明)
答案：1.(1)解:AD=$\frac{1}{3}$BC.
理由:
∵AD//BC,DE//AB,AF//DC,AE//DF,
∴四边形ABED,四边形AFCD,四边形AEFD均为平行四边形,
∴AD=BE=EF=CF,
∴AD=$\frac{1}{3}$BC.
(2)解:当四边形ABCD满足条件AB=CD时,四边形AEFD是矩形.
理由:
∵AB=CD,四边形ABED,四边形AFCD是平行四边形,
∴AB=DE,AF=CD,
∴DE=AF;
由(1)知四边形AEFD是平行四边形,
∴四边形AEFD是矩形.
(3)∠B=∠C=45°
2. 如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF. 请解答下列问题：
(1)试说明四边形ADEF的形状，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
(4)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
(5)当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
答案：2.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由:
∵△BCE和△ABD均为等边三角形,
∴BE=BC,BD=BA,∠ABD=60°,∠CBE=60°.
又
∵∠DBE=60°−∠ABE,∠ABC=60°−∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC.
在△BDE和△BAC中,$\begin{cases}BE = BC\\∠ DBE = ∠ ABC\\BD = BA\end{cases}$
∴△BDE≌△BAC(SAS),
∴DE=AC.
∵在等边△ACF中,AC=AF,
∴DE=AF.
同理可得DA=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
理由:
∵∠DAF=360°−∠DAB−∠BAC−∠CAF = 90°,
∴□ADEF是矩形.
(3)当AB=AC时,四边形ADEF是菱形.
理由:
∵AB=AC,
∴AD=AF,
∴▱ADEF是菱形.
(4)当∠BAC=150°且AB=AC或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形.
(5)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
3. 如图，在△ABC中，F是BC的中点，E是线段AB延长线上的一个动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形.
(2)若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE的长为多少
时
，四边形BECD是矩形，并说明理由；
②当BE的长为多少时，四边形BECD是菱形，并说明理由.
答案：3.(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠CDF=∠FEB、∠DCF=∠EBF;
∵F是BC的中点，
∴BF=CF;
在△DCF和△EBF中,$\begin{cases}∠ CDF = ∠ BEF\\∠ DCF = ∠ EBF\\FC = FB\end{cases}$
∴△DCF≌△EBF(AAS),
∴DC=BE;
又
∵DC//BE,
∴四边形BECD是平行四边形.
(2)解:①BE=2.
理由:当四边形BECD是矩形时,∠CEB=90°.
∵∠ABC=120°,
∴∠CBE=60°,
∴∠ECB=30°,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2.
②BE=4.
理由:当四边形BECD是菱形时，BE=EC.
∵∠ABC=120°,
∴∠CBE=60°,
∴△CBE是等边三角形,
∴BE=BC=4.
