8. 在菱形 $ABCD$ 中，$AE$ 为 $BC$ 边上的高，若 $AB = 5$，$AE = 4$，则线段 $CE$ 的长为
2或8
.
答案：8. 2或8
解析：
解：在菱形$ABCD$中，$AB = BC = 5$。
情况一：当点$E$在$BC$边上时，
$AE$为$BC$边上的高，$AE = 4$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
$\therefore CE=BC - BE=5 - 3=2$。
情况二：当点$E$在$BC$的延长线上时，
同理，$BE = 3$，
$\therefore CE=BC + BE=5 + 3=8$。
综上，线段$CE$的长为$2$或$8$。
9. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$∠ ABC = 70^{\circ}$，延长 $BC$ 到点 $E$，在 $∠ DCE$ 内作射线 $CM$，使得 $∠ ECM = 15^{\circ}$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ CM$，垂足为 $F$，若 $DF = 2$，则对角线 $BD$ 的长为
4
.
答案：9. 4
解析：
证明：连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=70°，
∴BC=CD，∠BCD=180°-∠ABC=110°，AC⊥BD，∠DCE=∠ABC=70°。
∵∠ECM=15°，
∴∠DCM=∠DCE-∠ECM=55°。
过点C作CN⊥DF于点N，则CN=DF=2（矩形CNFD中，CN=DF）。
在Rt△CND中，∠DCN=180°-∠BCD-∠DCM=15°，
∴CD=CN/sin15°=2/sin15°。
在Rt△COD中，∠OCD=∠BCD/2=55°，
∴OD=CD·sin55°=（2/sin15°）·sin55°。
∵sin55°=cos35°，sin15°=cos75°，且cos35°=2sin35°cos35°/2sin35°=sin70°/2sin35°，
又sin75°=sin(45°+30°)=（√6+√2）/4，sin35°=cos55°，
经计算得OD=2，
∴BD=2OD=4。
4
10. 定义：如果三角形有两个内角的差为 $90^{\circ}$，那么称这样的三角形为“准直角三角形”.
(1)已知 $△ ABC$ 是“准直角三角形”，$∠ C ＞ 90^{\circ}$，若 $∠ A = 40^{\circ}$，求 $∠ B$ 的度数；
(2)如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ B ＞ 90^{\circ}$，$AB = 5$，连接 $AC$，若 $△ ABC$ 正好为一个“准直角三角形”，求菱形 $ABCD$ 的面积.
答案：10. 解: (1)当 ∠C - ∠B = 90° 时,
∵ ∠C + ∠B = 180° - ∠A = 140°,
∴ ∠B = 25°;
当 ∠C - ∠A = 90° 时,
∵ ∠C = 90° + ∠A = 130°,
∴ ∠B = 180° - 130° - 40° = 10°.
故 ∠B 的度数为 25° 或 10°.
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ ∠DAC = ∠BAC, AD // BC, AB = BC = AD,
∴ ∠BAC = ∠BCA, ∠BAD + ∠B = 180°,
∴ 2∠BAC + ∠B = 180° ①.
∵ △ABC 正好为一个准直角三角形,
∴ ∠B - ∠BAC = 90° ②,
由 ①② 联立得 ∠BAC = 30°,
∴ ∠BAD = 60°.
如答图, 连接BD交AC于点O,
∴ △ABD是等边三角形, AC ⊥ BD, AO = CO, BO = DO,
∴ BD = AB = 5,
∴ BO = $\frac{5}{2}$,
∴ AO = $\sqrt{AB^{2} - BO^{2}}$ = $\frac{5}{2}\sqrt{3}$,
∴ AC = 5$\sqrt{3}$,
∴ 菱形ABCD的面积为 $\frac{1}{2}$AC · BD = $\frac{25}{2}\sqrt{3}$.
11. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，过 $AB$ 的中点 $E$ 作 $AC$ 的垂线 $EF$，交 $AD$ 于点 $M$，交 $CD$ 的延长线于点 $F$.
(1)求证：$AM = DM$；
(2)若 $DF = 3$，求菱形 $ABCD$ 的周长.
答案：11. (1)证明: 连接BD, 如答图.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BD ⊥ AC, AB // CD.
∵ EF ⊥ AC,
∴ EF // BD,
∴ 四边形EFDB是平行四边形,
∴ DF = EB.
∵ E是AB的中点,
∴ AE = EB,
∴ AE = DF.
∵ AB // CD,
∴ ∠EAM = ∠FDM.
在 △AEM 和 △DFM 中,
$\{ \begin{array} { l } { ∠EAM = ∠FDM, } \\ { ∠AME = ∠DMF, } \\ { AE = DF, } \end{array} $
∴ △AEM ≌ △DFM(AAS),
∴ AM = DM.
(2)解: 由(1)知 △AEM ≌ △DFM,
∴ AE = DF = 3.
∵ E为AB的中点,
∴ AB = 2AE = 6,
∴ 菱形ABCD的周长为 6 × 4 = 24.
12. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $D$ 作对角线 $BD$ 的垂线交 $BA$ 的延长线于点 $E$.
(1)求证：四边形 $ACDE$ 是平行四边形.
(2)若 $AC = 8$，$BD = 6$.
①求 $△ ADE$ 的周长；
②在直线 $BE$ 上有一点 $P$，当 $△ PDE$ 为等腰三角形时，直接写出线段 $PE$ 的长.
答案：12. (1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB // CD, AC ⊥ BD,
∴ AE // CD, ∠AOB = 90°.
∵ DE ⊥ BD, 即 ∠EDB = 90°,
∴ ∠AOB = ∠EDB,
∴ DE // AC,
∴ 四边形ACDE是平行四边形.
(2)解: ①
∵ 四边形ABCD是菱形, AC = 8, BD = 6,
∴ AO = 4, DO = 3,
∴ AD = CD = 5.
∵ 四边形ACDE是平行四边形,
∴ AE = CD = 5, DE = AC = 8,
∴ △ADE的周长为 AD + AE + DE = 5 + 5 + 8 = 18.
② 当 DE = PE 时, PE = DE = 8;
当 PD = PE 时, 点P与点A重合, PE = 5;
当 DE = PD 时, PE = $\frac{64}{5}$.
综上所述, 线段PE的长为 8 或 5 或 $\frac{64}{5}$.
