1. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $E$，$F$ 分别在 $BC$，$DC$ 边上，添加下列条件不能判定 $△ ABE ≌ △ ADF$ 的是 (
C
)
A.$BE = DF$
B.$∠ BAE = ∠ DAF$
C.$AE = AD$
D.$∠ AEB = ∠ AFD$
答案：1. C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB = AD$，$∠ B=∠ D$。
选项A：若$BE = DF$，
在$△ ABE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} AB = AD \\ ∠ B=∠ D \\ BE = DF \end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$。
选项B：若$∠ BAE=∠ DAF$，
在$△ ABE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} ∠ BAE=∠ DAF \\ AB = AD \\ ∠ B=∠ D \end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ ADF(\mathrm{ASA})$。
选项C：若$AE = AD$，
仅知$AB = AD = AE$，无法确定$△ ABE$与$△ ADF$全等（SSA不判定全等）。
选项D：若$∠ AEB=∠ AFD$，
在$△ ABE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} ∠ AEB=∠ AFD \\ ∠ B=∠ D \\ AB = AD \end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ ADF(\mathrm{AAS})$。
综上，不能判定全等的是选项C。
答案：C
2. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(-3,0)$，$(2,0)$，点 $D$ 在 $y$ 轴上，则点 $C$ 的坐标是
(5,4)
.
答案：2. (5,4)
解析：
解：
∵菱形$ABCD$的顶点$A(-3,0)$，$B(2,0)$，
∴$AB=2 - (-3)=5$，$AO=3$，$OB=2$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AD=AB=5$。
在$Rt△ AOD$中，$OD=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴点$D(0,4)$。
∵$AB=5$，点$B(2,0)$，
∴点$C$的横坐标为$2 + 5=7$（此处错误，应为$2 + 5=7$是错误的，正确应为$0 + (2 - (-3))=5$，即点$C$的横坐标为$0 + 5=5$），纵坐标与$D$相同为$4$，
∴点$C(5,4)$。
（注：原始解答中“点$C$的横坐标为$2 + 5=7$”存在笔误，正确应为根据菱形对边平行且相等，$AD$与$BC$平行且相等，$A$到$D$的平移向量与$B$到$C$的平移向量相同，$A(-3,0)$到$D(0,4)$是向右平移$3$个单位，向上平移$4$个单位，所以$B(2,0)$向右平移$3$个单位，向上平移$4$个单位得到$C(5,4)$。）
$(5,4)$
3. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$E$ 为对角线 $AC$ 上的一个动点（不与点 $A$，$C$ 重合），连接 $DE$ 并延长交射线 $AB$ 于点 $F$，连接 $BE$.
求证：(1)$△ DCE ≌ △ BCE$；
(2)$∠ AFD = ∠ EBC$.
答案：3. 证明: (1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CD = CB, ∠DCE = ∠BCE.
∵ CE = CE,
∴ △DCE ≌ △BCE(SAS).
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ DC // AF,
∴ ∠CDF = ∠AFD.
∵ △DCE ≌ △BCE,
∴ ∠EDC = ∠EBC,
∴ ∠AFD = ∠EBC.
4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $M$，$N$ 分别在 $AB$，$CD$ 上，且 $AM = CN$，$MN$ 与 $AC$ 交于点 $O$，连接 $BO$.若 $∠ DAC = 28^{\circ}$，则 $∠ OBC$ 的度数为 (
C
)
A.$28^{\circ}$
B.$52^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
答案：4. C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB// CD$，$AB=BC$，$AC$平分$∠ BAD$，$O$为$AC$中点（菱形对角线互相平分）。
∵$∠ DAC=28^{\circ}$，
∴$∠ BAD=2∠ DAC=56^{\circ}$，$∠ BAC=∠ DAC=28^{\circ}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$。
又
∵$AM=CN$，
∴$△ AOM≌△ CON$（AAS），
∴$AO=CO$，即$O$为$AC$中点。
∵$AB=BC$，
∴$BO⊥ AC$（等腰三角形三线合一），
∴$∠ BOC=90^{\circ}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ BCA=∠ DAC=28^{\circ}$。
在$△ BOC$中，$∠ OBC=180^{\circ}-∠ BOC-∠ BCA=180^{\circ}-90^{\circ}-28^{\circ}=62^{\circ}$。
答案：C
5. 如图，$P$ 是边长为 $1$ 的菱形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上的一个动点，$M$，$N$ 分别是 $AB$，$BC$ 边的中点，则 $MP + PN$ 的最小值是 (
B
)
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案：5. B
解析：
证明：作点 $ M $ 关于 $ AC $ 的对称点 $ M' $，连接 $ M'N $ 交 $ AC $ 于点 $ P $，此时 $ MP + PN $ 最小，最小值为 $ M'N $ 的长。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AB = BC = CD = DA = 1 $，$ AB // CD $。
∵ $ M $ 是 $ AB $ 中点，$ M $ 与 $ M' $ 关于 $ AC $ 对称，
∴ $ M' $ 是 $ AD $ 中点。
∵ $ N $ 是 $ BC $ 中点，
∴ $ AM' = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} $，$ BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} $，且 $ AM' // BN $。
∴ 四边形 $ ABNM' $ 是平行四边形，
∴ $ M'N = AB = 1 $。
即 $ MP + PN $ 的最小值为 $ 1 $。
答案：B
6. (2024·绥化)如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$CD = 5$，$BD = 8$，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，则 $AE$ 的长是 (
A
)
A.$\frac{24}{5}$
B.$6$
C.$\frac{48}{5}$
D.$12$
答案：6. A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$CD = 5$，$BD = 8$，
∴$BC = CD = 5$，$AC⊥BD$，$OB=\frac{1}{2}BD = 4$。
在$Rt△BOC$中，$OC=\sqrt{BC^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴$AC = 2OC = 6$。
菱形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
又
∵$AE⊥BC$，
∴$S = BC· AE$，即$24=5· AE$，
解得$AE=\frac{24}{5}$。
答案：A
7. (2025·凉山州)如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $CD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BD$ 于点 $F$，$EG ⊥ AC$ 于点 $G$，连接 $FG$.若 $AC = 12$，$BD = 16$，则 $FG$ 的长为
5
.
答案：7. 5
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC=12$，$BD=16$，
∴$AC⊥BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=8$。
∵$E$是$CD$的中点，$EF⊥BD$，$EG⊥AC$，
∴$EF$是$△ OCD$的中位线，$EG$是$△ OCD$的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}OC=3$，$EG=\frac{1}{2}OD=4$。
∵$EF⊥BD$，$EG⊥AC$，$AC⊥BD$，
∴四边形$OGEF$是矩形，
∴$FG=\sqrt{EF^2+EG^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答案：$5$
