一、选择题
1. 下列二次根式中，与$\sqrt{12}$是同类二次根式的是(
B
)
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{27}$
C.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
答案：1. B
解析：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
A. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
B. $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
与$\sqrt{12}$是同类二次根式的是$\sqrt{27}$，答案选B。
2. 若$2 ＜ a ＜ 3$，则$\sqrt{(2 - a)^2} - \sqrt{(a - 3)^2}$等于(
D
)
A.$5 - 2a$
B.$1 - 2a$
C.$2a - 1$
D.$2a - 5$
答案：2. D
解析：
因为$2 ＜ a ＜ 3$，所以$2 - a ＜ 0$，$a - 3 ＜ 0$。
$\sqrt{(2 - a)^2} = |2 - a| = a - 2$
$\sqrt{(a - 3)^2} = |a - 3| = 3 - a$
则$\sqrt{(2 - a)^2} - \sqrt{(a - 3)^2} = (a - 2) - (3 - a) = a - 2 - 3 + a = 2a - 5$
D
3. 已知一个长方形的面积是$6$，宽是$\sqrt{3}$，则它的长为(
C
)
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案：3. C
解析：
长方形的面积 = 长×宽，已知面积是$6$，宽是$\sqrt{3}$，则长 = 面积÷宽，即长为$6÷\sqrt{3}$。
$6÷\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
C
4. 如图，在数轴上表示$1$，$\sqrt{3}$的点分别为$A$，$B$，点$B$关于点$A$的对称点为$C$，则点$C$所表示的数是(
B
)
A.$\sqrt{3} - 2$
B.$2 - \sqrt{3}$
C.$\sqrt{3} - 1$
D.$1 - \sqrt{3}$
答案：4. B
解析：
解：设点$C$所表示的数为$x$。
因为点$B$关于点$A$对称，所以点$A$是线段$BC$的中点。
已知点$A$表示的数为$1$，点$B$表示的数为$\sqrt{3}$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x + \sqrt{3}}{2}=1$。
解得：$x=2 - \sqrt{3}$。
答案：B
二、填空题
5. 若式子$\dfrac{x - 1}{\sqrt{2 - x}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$ x ＜ 2 $
。
答案：5. $ x ＜ 2 $
解析：
要使式子$\dfrac{x - 1}{\sqrt{2 - x}}$在实数范围内有意义，需满足分母不为零且被开方数为非负数。
分母$\sqrt{2 - x}$中，被开方数$2 - x ≥ 0$，且分母$\sqrt{2 - x} ≠ 0$，即$2 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 2$。
$x ＜ 2$
6. 计算：$(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 =$
3
。
答案：6. 3
解析：
$\begin{aligned}(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2})^2&=\dfrac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1^2}{4} + \dfrac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{4}\\&=\dfrac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} + \dfrac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}\\&=\dfrac{6 + 2\sqrt{5} + 6 - 2\sqrt{5}}{4}\\&=\dfrac{12}{4}\\&=3\end{aligned}$
7. 若$y = \sqrt{x - 6} - \sqrt{6 - x} - 2$，则$xy =$
$ -12 $
。
答案：7. $ -12 $
解析：
要使$y = \sqrt{x - 6} - \sqrt{6 - x} - 2$有意义，则$\begin{cases}x - 6 ≥ 0 \\ 6 - x ≥ 0\end{cases}$，解得$x = 6$。将$x = 6$代入$y = \sqrt{x - 6} - \sqrt{6 - x} - 2$，得$y = 0 - 0 - 2 = -2$。所以$xy = 6×(-2) = -12$。
$-12$
8. 若$x = \sqrt{2} - 1$，则$x^2 + 2x + 1 =$
2
。
答案：8. 2
解析：
$x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2$，将$x = \sqrt{2} - 1$代入得，$(\sqrt{2} - 1 + 1)^2=(\sqrt{2})^2=2$。
9. 如图，$D$是等边三角形$ABC$中$AC$边延长线上的一点，连接$BD$，$E$是$AB$上的一点，且$DE = DB$，若$AD + AE = 5\sqrt{3}$，$BE = \sqrt{3}$，则$BC =$
$ \frac{7}{3}\sqrt{3} $
。
答案：9. $ \frac{7}{3}\sqrt{3} $
三、解答题
10. 计算：
(1)$\sqrt{\dfrac{3}{16}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{24}$；
(2)$2\sqrt{12} + \sqrt{18} - 3\sqrt{8} - \sqrt{32}$；
(3)$(\sqrt{\dfrac{5}{12}} + 2\sqrt{3}) × \sqrt{15}$；
(4)$(3 + 2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$。
答案：10. 解：(1) 原式 $ = \frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{\frac{1}{2} × 24} = \frac{\sqrt{3}}{4} - 2\sqrt{3} = -\frac{7\sqrt{3}}{4} $。
(2) 原式 $ = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{3} - 7\sqrt{2} $。
(3) 原式 $ = \sqrt{\frac{5}{12} × 15} + 2\sqrt{3 × 15} = \frac{5}{2} + 6\sqrt{5} $。
(4) 原式 $ = 9 + 12\sqrt{3} + 12 - (3 - 2) = 21 + 12\sqrt{3} - 1 = 20 + 12\sqrt{3} $。
