11. (2024·玄武区期末)【探索发现】
(1)在 $□ ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 是对角线.求证：$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$.
如图①，过点 $A$，$D$ 分别作 $AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，垂足为 $E$，$F$.设 $AB = x$，$BC = y$，$BE = z$.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.(用含 $x$，$y$，$z$ 的代数式表示)
【性质运用】
(2)如图②，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线.
①若 $BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，求 $AD$ 的长；(用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)
②若 $M$ 是 $BD$ 的中点，连接 $AM$.当 $AB = \sqrt{11}$，$AC = AM = \sqrt{7}$ 时，$BC=$
4
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【拓展探究】
(3)如图③，已知点 $A$，点 $B$ 和直线 $l$.在直线 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA^{2}+PB^{2}$ 的值最小.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
答案：11.(1)①$x^{2}-z^{2}$
②$x^{2}+y^{2}-2yz$
③$x^{2}+y^{2}+2yz$
④$2(x^{2}+y^{2})$
(2)①解:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,CE,如答图①.
∵AD是△ABC的BC边上的中线,
∴BD=CD.
又
∵DE=AD,
∴四边形ABEC是平行四边形.
由(1)可知AE²+BC²=2(AB²+AC²),
∴(2AD)²=2(AB²+AC²)−BC²=2(c²+b²)−a²,
∴$AD=\sqrt{\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}}{2}$.
②4
(3)解:如答图②,连接AB,取AB的中点Q,过点Q作QP⊥l,交直线l于点P.
由(1)得PA²+PB²=2AQ²+2PQ²,
∵AB是定值,
∴AQ也是定值，
根据垂线段最短得QP最短，
故此时PA²+PB²的值最小.
